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Accueil/ 1ère/ Série D/ Mathématiques/ Ch. 08
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1. Plan d'étude d'une fonction

Étapes d'une étude complète

1. Domaine de définition Df

2. Parité, périodicité (si applicable)

3. Limites aux bornes du domaine (asymptotes)

4. Dérivée f'(x), zéros de f' et signe de f'

5. Tableau de variations avec extremums

6. Points particuliers (intersections avec les axes)

7. Courbe représentative

2. Fonctions polynômes du 2ème et 3ème degré

Trinôme f(x) = ax² + bx + c

• Forme canonique : f(x) = a(x−α)²+β avec α=−b/(2a), β=f(α)=−Δ/(4a).

• Sommet (α ; β) : maximum si a<0, minimum si a>0.

• Axe de symétrie : x=α.

Fonction cubique f(x) = ax³ + bx² + cx + d

f'(x) = 3ax²+2bx+c. Les racines de f' donnent les extremums locaux.

Comportement en ±∞ : déterminé par ax³ (terme dominant).

3. Fonctions rationnelles — Asymptotes et branches

Étude de f(x) = P(x)/Q(x)

• Asymptotes verticales : racines de Q (si le numérateur ne s'annule pas au même point).

• Asymptote horizontale : si deg P ≤ deg Q, limite en ±∞ finie.

• Asymptote oblique : si deg P = deg Q + 1 : effectuer la division euclidienne.

Exemple — Hyperbole généralisée

f(x) = (x²+2)/(x−1). Division : f(x) = x+1 + 3/(x−1). Asymptote oblique y=x+1, asymptote verticale x=1.

f'(x) = [(2x)(x−1)−(x²+2)]/(x−1)² = (x²−2x−2)/(x−1)². Racines de f' : Δ=4+8=12. x=(2±2√3)/2=1±√3.

4. Fonctions trigonométriques

Étude de sin et cos

• sin x : période 2π, impaire. Valeurs de −1 à 1. Croissante sur [−π/2;π/2], décroissante sur [π/2;3π/2].

• cos x : période 2π, paire. Valeurs de −1 à 1. Décroissante sur [0;π], croissante sur [π;2π].

Fonctions x ↦ sin(ax+b)

• Période : T = 2π/|a|

• Amplitude : inchangée (reste dans [−1;1])

• Décalage de phase : −b/a (vers la droite si b/a>0)

Exemple — f(x) = sin(2x)

Période T=2π/2=π. f'(x)=2cos(2x)=0 ⟺ 2x=π/2+kπ ⟺ x=π/4+kπ/2.

Maxima en x=π/4+kπ (valeur 1), minima en x=−π/4+kπ (valeur −1).

5. Famille de fonctions et paramètres

Fonctions à paramètre

Pour f(x) = ax+b ou fₐ(x) = x+a/x ou fₖ(x) = x²+k·x, l'étude peut dépendre du paramètre.

On distingue les cas selon le signe du paramètre et on décrit chaque comportement.

🧠 À retenir absolument

  • Plan d'étude : domaine → parité → limites → dérivée → variations → courbe
  • Trinôme : forme canonique a(x−α)²+β, sommet (α;β)
  • Fraction rationnelle : division euclidienne → asymptote oblique si deg(P)=deg(Q)+1
  • sin(ax+b) : période 2π/|a|, décalage −b/a
  • Asymptote oblique : lim[f(x)−(ax+b)] = 0
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Étude d'un trinôme

● Facile

f(x) = −2x² + 8x − 6.

  1. Mettre sous forme canonique.
  2. Donner le sommet, l'axe de symétrie, le maximum.
  3. Résoudre f(x) = 0 et f(x) > 0.
✅ Correction
  1. −2(x²−4x)+−6=−2(x²−4x+4−4)−6=−2(x−2)²+8−6=−2(x−2)²+2
  2. Sommet (2;2), axe x=2, maximum=2 (a<0).
  3. Δ=64−48=16. x=(−8±4)/(−4). x₁=1, x₂=3. f>0 sur ]1;3[.
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Étude d'une fonction rationnelle

● Moyen

Étude complète de f(x) = (x²−x−2)/(x−3).

  1. Domaine. Simplifier si possible.
  2. Asymptotes (verticale et oblique par division euclidienne).
  3. Calculer f'(x) et dresser le tableau de variations.
✅ Correction
  1. D=ℝ\{3}. Vérifier si (x−3) est facteur de P(x)=x²−x−2 : P(3)=9−3−2=4≠0. Pas de simplification.
  2. Asymptote verticale x=3. Division : x²−x−2=(x−3)(x+2)+4. f(x)=x+2+4/(x−3). Asymptote oblique y=x+2.
  3. f'(x)=[(2x−1)(x−3)−(x²−x−2)]/(x−3)². Numérateur : 2x²−7x+3−x²+x+2=x²−6x+5=(x−1)(x−5). f'=0 en x=1 et x=5. Tableau : f décrois. sur ]−∞;1], crois. sur ]1;3[, décrois. sur ]3;5], crois. sur ]5;+∞[.
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Étude d'une fonction cubique

● Moyen

Étude complète de f(x) = x³ − 6x² + 9x − 4.

  1. Montrer que 1 est racine de f, puis factoriser.
  2. Calculer f'(x), dresser le tableau de variations.
  3. Donner les intersections avec l'axe Ox.
✅ Correction
  1. f(1)=1−6+9−4=0 ✅. Division : f=(x−1)(x²−5x+4)=(x−1)(x−1)(x−4)=(x−1)²(x−4).
  2. f'(x)=3x²−12x+9=3(x−1)(x−3). f'=0 en x=1 et x=3. f' change de + à − en x=1 : max local. f' change de − à + en x=3 : min local. f(1)=0, f(3)=27−54+27−4=−4.
  3. f(x)=0 : (x−1)²(x−4)=0. x=1 (double) et x=4. Points : (1;0) et (4;0).
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Étude d'une fonction trigonométrique

● Moyen

f(x) = 2sin(x) − √3·cos(x) sur [0;2π].

  1. Calculer f'(x).
  2. Trouver les valeurs de x où f'(x) = 0.
  3. Dresser le tableau de variations et donner les extremums.
✅ Correction
  1. f'(x) = 2cos(x) + √3·sin(x)
  2. 2cos x+√3 sin x=0 → tan x=−2/√3. Valeur : arctan(−2/√3). Sur [0;2π] : x=π−arctan(2/√3) et x=2π−arctan(2/√3). Approximation : arctan(2/√3)≈49,1°≈0,857 rad. x₁≈2,285 et x₂≈5,426.
  3. f(0)=−√3, f(x₁)≈maximum, f(x₂)≈minimum. f(π)=−√3. Max : f=√(4+3)=√7≈2,65. Min : −√7≈−2,65.
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Problème — Famille de fonctions

● Difficile

Soit fₖ(x) = x + k/x (k réel non nul), définie sur ]0;+∞[.

  1. Calculer fₖ'(x) et discuter selon le signe de k.
  2. Si k>0, montrer que fₖ admet un minimum sur ]0;+∞[ et calculer sa valeur.
  3. Retrouver l'inégalité arithmético-géométrique : x+1/x ≥ 2 pour x>0 (cas k=1).
✅ Correction
  1. fₖ'(x)=1−k/x². fₖ'(x)=0 ⟺ x²=k. Si k>0 : racine x=√k (dans ]0;+∞[). Si k<0 : pas de racine réelle, fₖ'<0 partout → fₖ strictement décroissante.
  2. Si k>0 : fₖ' change de − à + en x=√k → minimum. fₖ(√k)=√k+k/√k=√k+√k=2√k. Donc fₖ(x)≥2√k pour tout x>0.
  3. k=1 : f₁(x)=x+1/x≥2√1=2. Inégalité arithmético-géométrique : x+1/x≥2 pour x>0, avec égalité en x=1. ✅

QCM — Auto-évaluation

10 questions · Correction immédiate

0Score
0/10Répondues
Q1/10

La forme canonique de f(x)=x²−6x+5 est :

Q2/10

Le sommet de f(x)=2(x−1)²+3 est :

Q3/10

lim[x→+∞] f(x)=+∞ et lim[x→1] f(x)=±∞. Les asymptotes sont :

Q4/10

La période de f(x)=sin(3x) est :

Q5/10

Si f(x)=(x²+1)/(x+2), le degré de P est 2 et de Q est 1. L'asymptote à l'infini est :

Q6/10

f(x)=x³ a :

Q7/10

Pour f(x)=cos(2x−π/3), la phase à l'origine est :

Q8/10

Si f'(x)=0 sur tout ]a;b[, alors f est :

Q9/10

L'asymptote horizontale de f(x)=(3x+1)/(x−2) est :

Q10/10

Le maximum local de f(x)=x³−3x sur ℝ est en x= :