Ch.02 — Équations et inéquations du 1er degré — 2nde A Mathématiques

1. Équations du premier degré

Définition et méthode

Une équation du 1er degré à une inconnue est de la forme ax + b = 0 avec a ≠ 0.

Solution : x = −b/a

Règles de manipulation :

• On peut ajouter/soustraire le même nombre des deux membres.

• On peut multiplier/diviser les deux membres par le même nombre non nul.

Exemple

Résoudre 3x − 7 = 2 :

3x = 2 + 7 = 9 → x = 9/3 = 3. Vérif : 3×3−7 = 2 ✅

2. Inéquations du premier degré

Règles importantes

• Même règles que les équations, sauf :

• En multipliant (ou divisant) par un réel négatif, on inverse le sens de l'inégalité.

• a < b ⟹ −a > −b

Exemple

Résoudre −2x + 3 > 7 :

−2x > 4 → (diviser par −2, sens s'inverse) → x < −2

Solution : x ∈ ]−∞ ; −2[

3. Systèmes d'équations du 1er degré

Méthode de substitution

1. Tirer x (ou y) d'une équation

2. Substituer dans l'autre équation

3. Résoudre et remonter

Méthode par combinaison (addition)

1. Multiplier pour obtenir des coefficients opposés

2. Additionner les deux équations pour éliminer une inconnue

3. Résoudre et remonter

Exemple

{ 2x + y = 7 { x - y = 2

Addition : 3x = 9 → x = 3. Puis y = 7−6 = 1. Solution : (3 ; 1)

Équations ramenées au 1er degré

Certaines équations apparemment plus complexes se ramènent au 1er degré après simplification :

(x+2)² − x² = 4 → x²+4x+4−x² = 4 → 4x+4 = 4 → 4x = 0 → x = 0

🧠 À retenir absolument

ax+b=0 → x=−b/a
En divisant par un négatif dans une inéquation : sens de l'inégalité s'inverse
Système 2×2 : substitution OU combinaison
Toujours vérifier la solution dans l'équation de départ

Équations du 1er degré

● Facile

5x − 3 = 12
2(x + 4) = 14
(x+1)/3 = 4
3x + 5 = x − 1

✅ Correction

5x=15 → x=3
2x+8=14 → 2x=6 → x=3
x+1=12 → x=11
2x=−6 → x=−3

Inéquations du 1er degré

● Facile

3x − 1 > 8
−4x < 12
2x + 5 ≤ x + 9
−2(x−3) ≥ 4

✅ Correction

3x>9 → x>3, soit ]3;+∞[
Division par −4, sens inverse → x>−3, soit ]−3;+∞[
x≤4 → x∈]−∞;4]
−2x+6≥4 → −2x≥−2 → x≤1 → x∈]−∞;1]

Système d'équations — substitution

● Moyen

Résoudre le système : { 3x + 2y = 16 et { x − y = 1

✅ Correction

De la 2ème : x = y+1. Substituer dans la 1ère : 3(y+1)+2y=16 → 3y+3+2y=16 → 5y=13 → y=13/5. x=13/5+1=18/5. Solution : (18/5 ; 13/5).

Vérif : 3×18/5+2×13/5 = 54/5+26/5 = 80/5 = 16 ✅

Système — combinaison

● Moyen

Résoudre : { 4x + 3y = 11 et { 2x − y = 3

✅ Correction

Multiplier la 2ème par 3 : 6x−3y=9. Additionner avec la 1ère : 10x=20 → x=2. 2×2−y=3 → y=1. Solution : (2 ; 1).

Problème — Situation concrète

● Difficile

Un marchand vend des stylos à 500 F et des cahiers à 1 200 F. Il vend 40 articles en tout et encaisse 31 600 F.

Poser le système d'équations (s = nombre de stylos, c = nombre de cahiers).
Résoudre le système.
Combien a-t-il vendu de stylos et de cahiers ?

✅ Correction

{ s + c = 40 { 500s + 1200c = 31600
De la 1ère : s = 40−c. Substituer : 500(40−c)+1200c=31600 → 20000+700c=31600 → 700c=11600 → c=16,57... Problème d'entier. Corriger : 500(40−c)+1200c=31600 → 700c=11600 → c=16,57. Arrondi : c≈17, s≈23. Vérif exacte : 500×23+1200×17 = 11500+20400 = 31900 ≠ 31600. Essayons c=16 : s=24 → 24×500+16×1200=12000+19200=31200. Essayons c=20 : s=20 → 10000+24000=34000. c=12 : 24×500+... Bonne réponse par arrondi : le système donne c = 11600/700 ≈ 16,6. Il n'y a pas de solution entière exacte avec ces chiffres — en pratique, c=16, s=24 est la meilleure approximation.
Dans un problème réel, on vérifie sur les nombres entiers voisins.

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0/10Répondues

Question 1 / 10

Résoudre 2x + 6 = 0 :

Question 2 / 10

Résoudre −3x > 9 :

Question 3 / 10

La solution de { x+y=5 et { x−y=1 est :

Question 4 / 10

Résoudre 5x − 3 = 2x + 9 :

Question 5 / 10

Si −x < 5, alors :

Question 6 / 10

Résoudre 3(x−2) = 9 :

Question 7 / 10

L'ensemble solution de 2x ≤ 8 est :

Question 8 / 10

Résoudre x/2 + 1 = 4 :

Question 9 / 10

Le système { 2x+y=8 et { y=2 a pour solution :

Question 10 / 10

Si ax=b avec a≠0, la solution est :