Ch.06 — Suites numériques — 2nde A Mathématiques — Bibliothèque Numérique by Edutech Congo

1. Définition d'une suite

Définition

Une suite numérique est une liste ordonnée de nombres : u₀, u₁, u₂, …, uₙ, …

On peut définir une suite par :

• Formule explicite : uₙ = f(n) (ex : uₙ = 2n+1)

• Relation de récurrence : uₙ₊₁ = g(uₙ) avec une valeur initiale u₀ ou u₁

2. Suite arithmétique

Définition

Une suite (uₙ) est arithmétique de raison r si : uₙ₊₁ = uₙ + r pour tout n.

La raison est la différence constante entre deux termes consécutifs : r = uₙ₊₁ − uₙ.

Terme général

uₙ = u₀ + n·r ou uₙ = u₁ + (n−1)·r

Somme des n premiers termes

u₁ + u₂ + … + uₙ = n × (u₁ + uₙ)/2

(nombre de termes × moyenne du premier et du dernier)

Exemple

Suite : 3, 7, 11, 15, … Raison r=4, u₁=3.

Terme général : uₙ = 3 + (n−1)×4 = 4n−1. u₁₀ = 4×10−1 = 39.

Somme S = 10×(3+39)/2 = 210.

3. Suite géométrique

Définition

Une suite (uₙ) est géométrique de raison q si : uₙ₊₁ = q × uₙ pour tout n (q ≠ 0).

La raison est le rapport constant : q = uₙ₊₁ / uₙ.

Terme général

uₙ = u₁ × qⁿ⁻¹ ou uₙ = u₀ × qⁿ

Somme des n premiers termes (q ≠ 1)

S = u₁ × (1 − qⁿ)/(1 − q)

Exemple

Suite : 2, 6, 18, 54, … Raison q=3, u₁=2.

u₅ = 2 × 3⁴ = 2×81 = 162.

Somme S₄ = 2×(1−3⁴)/(1−3) = 2×(−80)/(−2) = 80.

🧠 À retenir absolument

Arithmétique : uₙ₊₁ = uₙ + r (raison = différence). Terme : uₙ = u₁ + (n−1)r
Géométrique : uₙ₊₁ = q × uₙ (raison = quotient). Terme : uₙ = u₁ × qⁿ⁻¹
Somme arithmétique = n × (premier + dernier)/2
Somme géométrique = u₁ × (1−qⁿ)/(1−q)

Identifier le type de suite

● Facile

Pour chaque suite, dire si elle est arithmétique, géométrique ou ni l'une ni l'autre. Donner la raison si possible.

5, 8, 11, 14, 17, …
3, 6, 12, 24, 48, …
1, 4, 9, 16, 25, …
100, 50, 25, 12,5, …

✅ Correction

Arithmétique, r=3.
Géométrique, q=2.
Carrés parfaits (1²,2²,3²…) : ni arithmétique ni géométrique.
Géométrique, q=1/2.

Terme général d'une suite arithmétique

● Facile

Suite arithmétique de premier terme u₁=7 et de raison r=−3. Calculer u₅ et u₂₀.
Suite arithmétique : u₃=10 et u₇=26. Trouver r et u₁.

✅ Correction

uₙ=7+(n−1)×(−3)=10−3n. u₅=10−15=−5. u₂₀=10−60=−50.
u₇−u₃=(7−3)r=4r=26−10=16 → r=4. u₁=u₃−2r=10−8=2.

Suite géométrique

● Moyen

Suite géométrique u₁=5, q=2. Calculer u₄ et u₈.
Suite géométrique u₂=12 et u₄=108. Trouver q et u₁.

✅ Correction

uₙ=5×2ⁿ⁻¹. u₄=5×8=40. u₈=5×128=640.
u₄/u₂=q²=108/12=9 → q=3 (ou q=−3). u₁=u₂/q=12/3=4.

Sommes

● Moyen

Calculer la somme des 10 premiers entiers impairs : 1+3+5+…+19.
Somme géométrique : 1+2+4+8+…+2⁹ (10 termes, q=2).

✅ Correction

Suite arithmétique r=2, u₁=1, u₁₀=19. S=10×(1+19)/2=10×10=100.
S=1×(1−2¹⁰)/(1−2)=(1−1024)/(−1)=1023.

Problème — Épargne

● Difficile

Mamadou dépose 10 000 F par mois sur un compte. Son solde croît selon une suite arithmétique.

Quel est son solde après 12 mois (le 1er mois il a 10 000 F) ?
Après combien de mois aura-t-il 100 000 F ?
Autre compte : 5 000 F le 1er mois, puis multiplié par 1,1 chaque mois. Quel est le montant au bout de 5 mois ?

✅ Correction

u₁=10000, r=10000. Solde total S=12×(10000+120000)/2=12×65000=780 000 F. (Ou : uₙ=10000n. Total=Σ=10000×(1+2+…+12)=10000×78=780 000 F).
10000n=100000 → n=10 mois.
u₅=5000×1,1⁴=5000×1,4641≈7 321 F.

QCM — Auto-évaluation

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Question 1 / 10

Une suite arithmétique de raison r vérifie :

Question 2 / 10

La suite 2, 6, 18, 54, … a une raison de :

Question 3 / 10

Le terme général d'une suite arithmétique u₁=3, r=2 est :

Question 4 / 10

u₁=5, q=3 (suite géométrique). u₃ vaut :

Question 5 / 10

La somme 1+2+3+…+10 vaut :

Question 6 / 10

Suite : 10, 7, 4, 1, −2, … La raison est :

Question 7 / 10

u₁=4, r=5. Le 4ème terme u₄ est :

Question 8 / 10

Une suite géométrique de raison q=2 et u₁=1. u₅ vaut :

Question 9 / 10

La somme des 5 premiers termes de la suite géométrique 1,2,4,8,16 est :

Question 10 / 10

Si uₙ=3n+1, le 5ème terme u₅ est :