Objectif Général 4 — Caractériser l'outil vectoriel du plan : coordonnées, opérations, colinéarité, norme, produit scalaire.
Un vecteur est défini par sa direction, son sens et sa norme (longueur). On note un vecteur →u ou AB→.
Deux vecteurs sont égaux s'ils ont même direction, même sens et même norme.
Le vecteur nul →0 a une norme nulle (direction et sens non définis).
Addition (règle du parallélogramme) : →u + →v se construit en plaçant →v au bout de →u.
Multiplication par un scalaire : k·→u a même direction, norme |k|·||→u||, sens selon le signe de k.
Opposé : −→u a même direction et norme, sens opposé. →u + (−→u) = →0.
Soustraction : →u − →v = →u + (−→v). En particulier : AB→ = OB→ − OA→.
Une combinaison linéaire de vecteurs →u et →v est un vecteur de la forme α→u + β→v (α, β réels).
Deux vecteurs →u et →v forment une base du plan vectoriel s'ils ne sont pas colinéaires. Tout vecteur →w du plan s'écrit alors de façon unique : →w = α→u + β→v.
Les coordonnées de →w dans la base (→u, →v) sont (α, β).
→u et →v sont colinéaires si ∃ k ∈ ℝ tel que →v = k·→u (l'un est multiple de l'autre).
Trois points A, B, C sont alignés ⟺ les vecteurs AB→ et AC→ sont colinéaires.
Dans un repère (O, →i, →j) où →i et →j sont orthogonaux et de norme 1 :
• Un point A a des coordonnées (xₐ, yₐ) telles que OA→ = xₐ→i + yₐ→j
• Le vecteur AB→ a pour coordonnées : (xB − xA ; yB − yA)
Si →u = (a; b) et →v = (c; d), et si k est un réel :
• →u + →v = (a+c ; b+d)
• k·→u = (ka ; kb)
• ||→u|| = √(a² + b²) (norme)
• →u et →v colinéaires ⟺ ad − bc = 0 (déterminant nul)
A(1;2), B(4;6). AB→ = (4−1 ; 6−2) = (3;4). ||AB→|| = √(9+16) = √25 = 5.
Milieu M de AB : M = ((1+4)/2 ; (2+6)/2) = (2,5 ; 4).
Le produit scalaire de →u et →v est le réel :
→u · →v = ||→u|| × ||→v|| × cos(θ)
où θ est l'angle entre →u et →v (0 ≤ θ ≤ π).
En coordonnées : si →u=(a;b) et →v=(c;d), alors →u · →v = ac + bd
• →u · →v = →v · →u (commutativité)
• →u · →u = ||→u||² = a² + b²
• →u ⊥ →v ⟺ →u · →v = 0 (vecteurs orthogonaux)
• (→u + →v)² = →u² + 2→u·→v + →v²
→u = (3;4) et →v = (−4;3). →u·→v = 3×(−4) + 4×3 = −12+12 = 0. →u ⊥ →v.
On donne A(2;−1), B(6;3), C(−1;4).
Soit →u = (3;−2) et →v = (1;5).
ABCD est un parallélogramme avec A(1;1), B(4;2), D(2;5).
10 questions · Une seule bonne réponse · Correction immédiate
Le vecteur AB→ avec A(1;3) et B(5;7) a pour coordonnées :
La norme de →u = (3;4) est :
→u = (2;6) et →v = (1;3). Ces vecteurs sont :
Le produit scalaire de (1;2) et (3;−1) vaut :
→u = (a;b) et →v = (c;d) sont orthogonaux si :
Le milieu de A(2;4) et B(6;8) est :
2→u − →v avec →u=(1;3) et →v=(2;1) donne :
A(0;0), B(3;1), C(6;2) sont-ils alignés ?
Si →u·→v = ||→u||·||→v||, alors l'angle entre →u et →v est :
La condition de colinéarité de →u=(a;b) et →v=(c;d) est :
