Ch. 11 Mathématiques · 2nde C

Angles orientés et trigonométrie

Objectif Général 4 — Plan orienté, cercle trigonométrique, lignes trigonométriques et leurs propriétés.

1. Angles orientés

Plan orienté et angles orientés

Le plan est orienté en choisissant un sens de rotation (sens trigonométrique = sens anti-horaire, positif).

L'angle orienté d'un couple de vecteurs (→u, →v) est la mesure de la rotation qui amène →u sur →v. Il est défini modulo 2π (ou 360°).

Cercle trigonométrique

Le cercle trigonométrique est le cercle de centre O et de rayon 1 dans un repère orthonormé (O,→i,→j).

À chaque réel θ correspond un unique point M du cercle d'abscisse curviligne θ.

Les coordonnées de M sont : M = (cos θ ; sin θ)

2. Lignes trigonométriques

Définitions

Pour un angle orienté θ, on définit sur le cercle trigonométrique :

• Cosinus : cos θ = abscisse du point M sur le cercle

• Sinus : sin θ = ordonnée du point M sur le cercle

• Tangente : tan θ = sin θ / cos θ (cos θ ≠ 0)

• Cotangente : cotan θ = cos θ / sin θ (sin θ ≠ 0)

Relation fondamentale

cos²θ + sin²θ = 1 (pour tout θ)

Cette relation provient du théorème de Pythagore appliqué au cercle unité.

Valeurs remarquables

θ	0°	30°	45°	60°	90°	180°
cos θ	1	√3/2	√2/2	1/2	0	−1
sin θ	0	1/2	√2/2	√3/2	1	0
tan θ	0	√3/3	1	√3	∄	0

3. Propriétés des lignes trigonométriques

Parité et périodicité

• cos est paire : cos(−θ) = cos θ

• sin est impaire : sin(−θ) = −sin θ

• tan est impaire : tan(−θ) = −tan θ

• cos et sin sont périodiques de période 2π : cos(θ+2π) = cos θ

• tan est périodique de période π : tan(θ+π) = tan θ

Angles associés — Relations importantes

• cos(π−θ) = −cos θ sin(π−θ) = sin θ

• cos(π+θ) = −cos θ sin(π+θ) = −sin θ

• cos(π/2−θ) = sin θ sin(π/2−θ) = cos θ

Signe des lignes trigonométriques par quadrant

Quadrant	cos	sin	tan
I : 0 à π/2	+	+	+
II : π/2 à π	−	+	−
III : π à 3π/2	−	−	+
IV : 3π/2 à 2π	+	−	−

🧠 À retenir absolument

cos²θ + sin²θ = 1 (relation fondamentale)
Valeurs : cos 60° = sin 30° = 1/2 ; cos 45° = sin 45° = √2/2 ; cos 30° = sin 60° = √3/2
cos est paire ; sin et tan sont impaires
Période 2π pour cos et sin ; période π pour tan
tan θ = sin θ / cos θ ; tan non définie si cos θ = 0 (θ = π/2 + kπ)

Valeurs des lignes trigonométriques

● Facile

Calculer exactement :

cos 0° + sin 90°
sin 30° × cos 60°
tan 45° + cos 180°
cos²30° + sin²30°
sin(−60°) et cos(−45°)

✅ Correction

cos 0° + sin 90° = 1 + 1 = 2
sin 30° × cos 60° = (1/2) × (1/2) = 1/4
tan 45° + cos 180° = 1 + (−1) = 0
cos²30° + sin²30° = (√3/2)² + (1/2)² = 3/4 + 1/4 = 1 (relation fondamentale ✅)
sin(−60°) = −sin 60° = −√3/2. cos(−45°) = cos 45° = √2/2

Signe et quadrant

● Facile

Pour chaque angle, préciser dans quel quadrant il se trouve, puis signer cos, sin et tan :

θ = 120°
θ = 250°
θ = 320°
θ = −40°

✅ Correction

120° ∈ ]90°;180°[ → Quadrant II. cos < 0, sin > 0, tan < 0.
250° ∈ ]180°;270°[ → Quadrant III. cos < 0, sin < 0, tan > 0.
320° ∈ ]270°;360°[ → Quadrant IV. cos > 0, sin < 0, tan < 0.
−40° est équivalent à 320° → Quadrant IV. cos > 0, sin < 0, tan < 0.

Utilisation de la relation fondamentale

● Moyen

On donne sin θ = 3/5 avec θ ∈ ]0° ; 90°[.

Calculer cos θ (en utilisant cos²θ + sin²θ = 1).
Calculer tan θ.
Calculer sin(π − θ) et cos(π − θ).

✅ Correction

cos²θ = 1 − sin²θ = 1 − 9/25 = 16/25. θ ∈ ]0°;90°[ donc cos θ > 0. cos θ = 4/5.
tan θ = sin θ / cos θ = (3/5)/(4/5) = 3/4.
sin(π−θ) = sin θ = 3/5. cos(π−θ) = −cos θ = −4/5.

Équations trigonométriques simples

● Moyen

Résoudre dans [0° ; 360°] :

cos θ = 1/2
sin θ = −√2/2
tan θ = 1

✅ Correction

cos θ = 1/2 → θ = 60° ou θ = 360°−60° = 300°. S = {60° ; 300°}
sin θ = −√2/2 → valeur de référence 45°. sin < 0 en Q3 et Q4. θ = 180°+45° = 225° ou θ = 360°−45° = 315°. S = {225° ; 315°}
tan θ = 1 → θ = 45° ou θ = 45°+180° = 225°. S = {45° ; 225°}

Problème — Calcul trigonométrique

● Difficile

Dans un triangle rectangle ABC rectangle en B, on sait que cos A = 5/13.

Calculer sin A et tan A.
En déduire sin C et cos C (sachant que A + C = 90°).
Si AB = 10 cm, calculer BC et AC (en utilisant les définitions dans le triangle rectangle).

✅ Correction

sin²A = 1 − cos²A = 1 − 25/169 = 144/169. A aigu donc sin A > 0. sin A = 12/13. tan A = 12/13 ÷ 5/13 = 12/5.
C = 90° − A donc sin C = cos A = 5/13 et cos C = sin A = 12/13.
cos A = AB/AC → AC = AB/cos A = 10/(5/13) = 26 cm. sin A = BC/AC → BC = AC × sin A = 26 × 12/13 = 24 cm. Vérif : 10²+24² = 100+576 = 676 = 26² ✅

QCM — Auto-évaluation

10 questions · Une seule bonne réponse · Correction immédiate

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0/10Répondues

Question 1 / 10

cos 60° est égal à :

Question 2 / 10

La relation fondamentale de la trigonométrie est :

Question 3 / 10

sin est une fonction :

Question 4 / 10

Dans le quadrant II (90° < θ < 180°), le signe de cos θ est :

Question 5 / 10

tan 45° vaut :

Question 6 / 10

sin(180° − θ) est égal à :

Question 7 / 10

La période de cos θ est :

Question 8 / 10

Si sin θ = 1/2 et θ ∈ ]0°;90°[, alors θ vaut :

Question 9 / 10

cos(−θ) est égal à :

Question 10 / 10

Si cos²θ = 0,36, alors sin²θ vaut :