Ch. 14 Mathématiques · 2nde C

Relations vectorielles et ensembles de points

Objectif Général 5 — Alignement, parallélisme, barycentre, centre de gravité, arcs capables.

1. Conditions d'alignement et de parallélisme

Alignement de trois points

Trois points A, B, C sont alignés si et seulement si les vecteurs AB→ et AC→ sont colinéaires :

AB→ ∧ AC→ = 0 (déterminant nul)

Si AB→ = (a;b) et AC→ = (c;d) : alignement ⟺ ad − bc = 0

Parallélisme de droites

Deux droites (AB) et (CD) sont parallèles si et seulement si AB→ et CD→ sont colinéaires.

(Droites parallèles ou confondues)

Exemple

A(1;2), B(3;6), C(5;10). AB→=(2;4), AC→=(4;8). Déterminant : 2×8−4×4=16−16=0. A, B, C alignés.

2. Barycentre de deux ou trois points pondérés

Barycentre de deux points

Le barycentre de (A, a) et (B, b) avec a + b ≠ 0 est le point G tel que :

a·GA→ + b·GB→ = →0

En coordonnées : G = ((axA + bxB)/(a+b) ; (ayA + byB)/(a+b))

Cas particulier : si a = b = 1, G est le milieu de AB.

Barycentre de trois points

Le barycentre de (A,a), (B,b), (C,c) avec a+b+c ≠ 0 est :

G = ((axA+bxB+cxC)/(a+b+c) ; (ayA+byB+cyC)/(a+b+c))

Le centre de gravité (isobarycentre) correspond à a = b = c = 1 :

G = ((xA+xB+xC)/3 ; (yA+yB+yC)/3)

Exemple

Barycentre de (A(0;0),2) et (B(6;3),1) : G = ((2×0+1×6)/3 ; (2×0+1×3)/3) = (2;1).

Vérification : 2·GA→+1·GB→ = 2(2;1)+1(4;2) = (4;2)+(4;2) ≠ 0... Corrigeons : GA→=(−2;−1), GB→=(4;2). 2(−2;−1)+1(4;2) = (−4;−2)+(4;2) = (0;0) ✅

3. Ensembles de points définis par une condition vectorielle

Ensemble de type aMA→ + bMB→ + cMC→ = →u

Pour (a,b,c) ≠ (0,0,0), l'ensemble des points M vérifiant cette condition est :

• Si a+b+c ≠ 0 : un point unique (le barycentre)

• Si a+b+c = 0 et →u = →0 : une droite

• Si a+b+c = 0 et →u ≠ →0 : l'ensemble est vide

Arcs capables

L'ensemble des points M du plan d'où un segment AB est vu sous un angle constant θ est un arc de cercle passant par A et B.

🧠 À retenir absolument

A, B, C alignés ⟺ AB→ et AC→ colinéaires ⟺ déterminant = 0
Barycentre G de (A,a) et (B,b) : a·GA→ + b·GB→ = →0
Centre de gravité (a=b=c=1) : G = ((xA+xB+xC)/3 ; (yA+yB+yC)/3)
Milieu de AB = barycentre de (A,1) et (B,1)

Alignement de points

● Facile

Les points A(1;2), B(3;5), C(7;11) sont-ils alignés ?
Les points D(0;3), E(2;7), F(4;10) sont-ils alignés ?
Trouver la valeur de k pour que A(0;0), B(2;3), C(4;k) soient alignés.

✅ Correction

AB→=(2;3), AC→=(6;9). Det = 2×9−3×6=18−18=0. Alignés ✅
DE→=(2;4), DF→=(4;7). Det = 2×7−4×4=14−16=−2≠0. Non alignés.
AB→=(2;3), AC→=(4;k). Det=2k−12=0 → k=6.

Milieu et barycentre de deux points

● Facile

Calculer le milieu de [AB] avec A(2;−1) et B(6;5).
Calculer le barycentre G de (A(0;4), 3) et (B(6;−2), 1).
Vérifier : 3·GA→ + 1·GB→ = →0.

✅ Correction

M = ((2+6)/2 ; (−1+5)/2) = (4;2)
G = ((3×0+1×6)/4 ; (3×4+1×(−2))/4) = (6/4 ; 10/4) = (3/2 ; 5/2)
GA→ = (0−3/2 ; 4−5/2) = (−3/2 ; 3/2). GB→ = (6−3/2 ; −2−5/2) = (9/2 ; −9/2). 3(−3/2;3/2)+(9/2;−9/2) = (−9/2+9/2 ; 9/2−9/2) = (0;0) ✅

Centre de gravité d'un triangle

● Moyen

Soit un triangle ABC avec A(2;0), B(8;0), C(5;6).

Calculer le centre de gravité G du triangle.
Montrer que GA→+GB→+GC→ = →0.
Calculer le milieu M de [BC]. Vérifier que G, A et M sont alignés et que AG = (2/3)AM.

✅ Correction

G = ((2+8+5)/3 ; (0+0+6)/3) = (15/3 ; 6/3) = (5 ; 2)
GA→=(2−5;0−2)=(−3;−2). GB→=(8−5;0−2)=(3;−2). GC→=(5−5;6−2)=(0;4). Somme=(−3+3+0;−2−2+4)=(0;0) ✅
M=((8+5)/2;(0+6)/2)=(13/2;3). AM→=(13/2−2;3−0)=(9/2;3). AG→=(5−2;2−0)=(3;2). AG→=(2/3)AM→ ? 2/3×(9/2;3)=(3;2) ✅. G est sur la médiane AM et AG=(2/3)AM ✅

Parallélisme de droites

● Moyen

Les droites (AB) et (CD) sont-elles parallèles, avec A(0;1), B(3;4), C(2;−1), D(5;2) ?
Trouver le réel t tel que les droites (AB) et (PQ) soient parallèles, avec A(1;2), B(3;5), P(0;0), Q(t;6).

✅ Correction

AB→=(3;3), CD→=(3;3). Vecteurs identiques. Droites parallèles (ou confondues). Vérif : A∉(CD) car C(2;−1) et le vecteur CA→=(−2;2) ≠ k×(3;3). Donc parallèles non confondues.
AB→=(2;3), PQ→=(t;6). Parallèles ⟺ 2×6−3×t=0 ⟺ 12=3t ⟺ t=4.

Problème — Barycentre et physique

● Difficile

Trois masses sont disposées aux sommets d'un triangle : mA = 2 kg en A(0;0), mB = 3 kg en B(6;0), mC = 1 kg en C(3;6). Le centre de gravité (barycentre des masses) est G.

Calculer les coordonnées de G.
Calculer la distance OG (O = origine).
Vérifier que 2·GA→ + 3·GB→ + 1·GC→ = →0.

✅ Correction

G = ((2×0+3×6+1×3)/(2+3+1) ; (2×0+3×0+1×6)/6) = ((0+18+3)/6 ; 6/6) = (21/6 ; 1) = (7/2 ; 1)
OG = √((7/2)²+1²) = √(49/4+1) = √(53/4) = √53/2 ≈ 3,64
GA→=(0−7/2;0−1)=(−7/2;−1). GB→=(6−7/2;0−1)=(5/2;−1). GC→=(3−7/2;6−1)=(−1/2;5). 2(−7/2;−1)+3(5/2;−1)+1(−1/2;5) = (−7;−2)+(15/2;−3)+(−1/2;5) = (−7+7;−2−3+5) = (0;0) ✅

QCM — Auto-évaluation

10 questions · Une seule bonne réponse · Correction immédiate

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0/10Répondues

Question 1 / 10

Trois points A, B, C sont alignés si :

Question 2 / 10

Le barycentre de (A,1) et (B,1) est :

Question 3 / 10

Le centre de gravité G d'un triangle ABC vérifie :

Question 4 / 10

Les coordonnées du centre de gravité de A(0;6), B(6;0), C(3;3) sont :

Question 5 / 10

Pour que A(0;0), B(4;2), C(6;k) soient alignés, k vaut :

Question 6 / 10

Le barycentre de (A(0;0),2) et (B(3;6),1) est :

Question 7 / 10

Les droites (AB) et (CD) sont parallèles si :

Question 8 / 10

Le milieu de A(−2;4) et B(6;−2) est :

Question 9 / 10

Si G est le barycentre de (A,2) et (B,3), alors :

Question 10 / 10

A(1;1), B(3;4), C(5;7). Ces points sont-ils alignés ?