Objectif Général 6 — Population, effectifs, fréquences, mode, médiane, moyenne, variance, écart type.
• Population : ensemble étudié (ex: les élèves d'une école)
• Échantillon : sous-ensemble représentatif de la population
• Caractère : propriété étudiée (ex: la taille, la note...)
• Modalités : valeurs que peut prendre le caractère
• Effectif nᵢ : nombre d'individus ayant la modalité i
• Effectif total : N = Σnᵢ
• Fréquence fᵢ : fᵢ = nᵢ/N (exprimée en % ou en fraction)
• Qualitatif : modalités non numériques (couleur, genre, catégorie...)
• Quantitatif discret : valeurs numériques isolées (nombre d'enfants, note entière...)
• Quantitatif continu : valeurs dans des intervalles (taille, masse, temps...)
Le mode est la valeur (ou la modalité) qui a le plus grand effectif. Une série peut avoir plusieurs modes.
La médiane Me est la valeur qui partage la série ordonnée en deux moitiés égales :
• Si N est impair : Me = valeur du rang (N+1)/2
• Si N est pair : Me = moyenne des valeurs des rangs N/2 et N/2+1
La moyenne est :
x̄ = (Σ nᵢ xᵢ) / N = Σ fᵢ xᵢ
Notes : 8(×2), 10(×3), 12(×4), 15(×1). N=10.
Moyenne = (2×8+3×10+4×12+1×15)/10 = (16+30+48+15)/10 = 109/10 = 10,9
Médiane : 5ème et 6ème valeurs dans la série ordonnée. 5ème = 10, 6ème = 12. Me = (10+12)/2 = 11.
L'écart moyen est la moyenne des valeurs absolues des écarts à la moyenne :
e = Σ nᵢ |xᵢ − x̄| / N
La variance est la moyenne des carrés des écarts à la moyenne :
V = Σ nᵢ (xᵢ − x̄)² / N
Formule équivalente : V = (Σ nᵢ xᵢ²)/N − x̄²
L'écart type est : σ = √V
Plus σ est petit, plus les données sont regroupées autour de la moyenne.
Valeurs : 2, 4, 6, 8. x̄ = 5. V = [(2−5)²+(4−5)²+(6−5)²+(8−5)²]/4 = [9+1+1+9]/4 = 20/4 = 5. σ = √5 ≈ 2,24.
• Diagramme à bandes (barres) : pour les caractères qualitatifs ou discrets
• Diagramme circulaire (camembert) : angle du secteur = fréquence × 360°
• Histogramme : pour les données regroupées en classes (surface = effectif)
• Polygone des effectifs cumulés : effectifs cumulés croissants
• Effectif cumulé : Nᵢ = n₁ + n₂ + ... + nᵢ
Si une modalité représente 25% des effectifs, son secteur angulaire vaut : 25% × 360° = 90°.
Une classe de 30 élèves a obtenu les notes suivantes :
| Note | 6 | 8 | 10 | 12 | 14 | 16 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Effectif | 2 | 5 | 8 | 7 | 5 | 3 |
Série de notes : 5, 8, 8, 10, 10, 10, 12, 14, 15, 18. (N=10)
Série : 4, 6, 8, 10, 12. (N=5)
| Valeur xᵢ | 10 | 20 | 30 | 40 |
|---|---|---|---|---|
| Effectif nᵢ | 3 | 5 | 4 | 2 |
Deux classes ont obtenu ces résultats à un même test (sur 20) :
Classe A : 8, 10, 10, 12, 12, 12, 14, 14, 16, 18 (N=10)
Classe B : 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 20 (N=10)
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La fréquence d'une modalité d'effectif 6 dans une série de 30 est :
Le mode d'une série est :
La médiane d'une série de 10 valeurs ordonnées est :
La moyenne de 4, 6, 8, 10, 12 est :
La variance d'une série est :
L'écart type σ est :
Une série très dispersée a un écart type :
La fréquence 0,25 correspond à un secteur angulaire de :
La formule équivalente de la variance est :
Un effectif cumulé croissant à la valeur xᵢ est :
