Un vecteur v⃗ est caractérisé par une direction, un sens et une norme (longueur), notée ‖v⃗‖. En physique, il représente une grandeur vectorielle : déplacement, vitesse, force, champ électrique, etc. Dans un repère orthonormé (O, i⃗, j⃗), un vecteur se note par ses coordonnées v⃗(x ; y).
Pour trois points quelconques A, B, C : AB⃗ + BC⃗ = AC⃗. C'est la base géométrique de l'addition vectorielle (règle du parallélogramme ou méthode « bout à bout »). La soustraction se ramène à une addition : a⃗ − b⃗ = a⃗ + (−b⃗), où −b⃗ a même norme et même direction que b⃗ mais un sens opposé.
Multiplication par un scalaire k : le vecteur k·a⃗ a pour norme |k|·‖a⃗‖ ; il garde la direction de a⃗, avec le même sens si k > 0, le sens opposé si k < 0.
Addition/soustraction : soient d⃗₁(3 ; 4) m et d⃗₂(−1 ; 2) m. Somme : d⃗₁+d⃗₂ = (2 ; 6) m, de norme √(2²+6²) = √40 ≈ 6,32 m. Différence : d⃗₁−d⃗₂ = (4 ; 2) m.
Multiplication par un scalaire : soit a⃗(2 ; 3), de norme √13 ≈ 3,61. Alors −2a⃗ = (−4 ; −6), de norme 2×3,61 ≈ 7,21 (sens opposé, norme doublée).
Le produit vectoriel de deux vecteurs a⃗ et b⃗ faisant l'angle θ entre eux est le vecteur c⃗ = a⃗ ∧ b⃗ tel que :
• Norme : ‖a⃗ ∧ b⃗‖ = a·b·sin θ
• Direction : perpendiculaire au plan formé par a⃗ et b⃗
• Sens : donné par la règle de la main droite (ou du tire-bouchon de Maxwell)
En coordonnées, dans une base orthonormée directe (i⃗, j⃗, k⃗) : si a⃗(ax ; ay ; az) et b⃗(bx ; by ; bz), alors a⃗∧b⃗ = (ay·bz − az·by ; az·bx − ax·bz ; ax·by − ay·bx).
Le produit vectoriel est anticommutatif : a⃗∧b⃗ = −b⃗∧a⃗. Il est nul lorsque les deux vecteurs sont colinéaires (θ = 0° ou 180°), et maximal lorsqu'ils sont perpendiculaires (θ = 90°).
Application physique — moment d'une force : le moment d'une force F⃗ appliquée en un point M, par rapport à un point O (ou un axe passant par O), est : M⃗ = OM⃗ ∧ F⃗, de norme M = OM·F·sin θ = F·d, où d = OM·sinθ est le bras de levier (distance perpendiculaire entre O et la droite d'action de F⃗).
Une force F = 25 N s'exerce perpendiculairement à une porte, en un point situé à OM = 0,50 m de l'axe des gonds O.
Moment : M = OM×F×sin90° = 0,50 × 25 × 1 = 12,5 N·m.
Si la même force est appliquée avec un angle de 30° par rapport à la porte (θ = 30° entre OM⃗ et F⃗) : M = 0,50 × 25 × sin30° = 0,50 × 25 × 0,5 = 6,25 N·m : le moment diminue, la porte s'ouvre moins efficacement.
À retenir en pratique : pour maximiser un moment (ouvrir une porte, serrer un boulon), on applique la force le plus loin possible de l'axe (OM grand) et perpendiculairement (θ = 90°, sin θ maximal).
La dérivée de f en x, notée f'(x), mesure la variation instantanée de f : f'(x) = lim(h→0) [f(x+h) − f(x)] / h. La différentielle associée est df = f'(x)·dx, qui représente une variation infinitésimale de f.
| Fonction f(x) | Dérivée f'(x) | Primitive F(x) |
|---|---|---|
| k (constante) | 0 | kx + C |
| xⁿ | n·xⁿ⁻¹ | xⁿ⁺¹/(n+1) + C (n≠−1) |
| sin x | cos x | −cos x + C |
| cos x | −sin x | sin x + C |
| 1/x | −1/x² | ln|x| + C |
| √x | 1/(2√x) | (2/3)x^(3/2) + C |
Règles opératoires : (u+v)' = u'+v' ; (k·u)' = k·u' ; (uv)' = u'v + uv' ; (u/v)' = (u'v − uv')/v².
En mécanique, la position x(t), la vitesse v(t) et l'accélération a(t) sont liées par dérivation successive : v(t) = dx/dt et a(t) = dv/dt = d²x/dt². Inversement, par primitivation (calcul intégral) : v(t) = ∫a(t)dt et x(t) = ∫v(t)dt. L'aire sous la courbe v(t) entre deux instants représente la distance parcourue : Δx = ∫(t1→t2) v(t) dt.
Un mobile a une accélération constante a = 2 m/s², avec v(0) = 5 m/s et x(0) = 0.
Par primitivation : v(t) = 5 + 2t (m/s) ; x(t) = 5t + t² (m).
Par dérivation, on vérifie : dv/dt = 2 = a ✓ et dx/dt = 5+2t = v(t) ✓.
À t = 3 s : v(3) = 5+6 = 11 m/s ; x(3) = 15+9 = 24 m.
Calcul intégral équivalent : distance parcourue entre 0 et 3 s = ∫₀³ (5+2t)dt = [5t+t²]₀³ = 24 m — on retrouve bien x(3).
| Formule | Expression |
|---|---|
| cos(a+b) | cos a·cos b − sin a·sin b |
| cos(a−b) | cos a·cos b + sin a·sin b |
| sin(a+b) | sin a·cos b + cos a·sin b |
| sin(a−b) | sin a·cos b − cos a·sin b |
| cos(2a) | cos²a − sin²a = 2cos²a − 1 = 1 − 2sin²a |
| sin(2a) | 2·sin a·cos a |
Relation fondamentale : cos²a + sin²a = 1.
Calculer cos75° sans table, en écrivant 75° = 45°+30° :
cos75° = cos45°cos30° − sin45°sin30° = (√2/2)(√3/2) − (√2/2)(1/2) = (√6 − √2)/4 ≈ (2,449 − 1,414)/4 ≈ 0,259, valeur conforme à la calculatrice.
Dans un triangle ABC de côtés a, b, c (a opposé à A, etc.) :
Loi des cosinus : a² = b² + c² − 2bc·cos A (généralise le théorème de Pythagore).
Loi des sinus : a/sin A = b/sin B = c/sin C = 2R (R = rayon du cercle circonscrit).
Triangle avec b = 8 cm, c = 6 cm, A = 50°.
a² = 8² + 6² − 2×8×6×cos50° = 64+36 − 96×0,643 ≈ 100 − 61,7 = 38,3 → a ≈ 6,19 cm.
Loi des sinus : sinB = b·sinA/a = 8×0,766/6,19 ≈ 0,990 → B ≈ 81,9°, puis C = 180−50−81,9 ≈ 48,1°.
Application physique : ces deux lois permettent de calculer la résultante de deux forces (ou vecteurs) concourants non perpendiculaires. Si F⃗₁ et F⃗₂ font un angle θ entre eux, la construction du parallélogramme donne un triangle d'angle (180°−θ), d'où la formule de la résultante R² = F1² + F2² + 2·F1·F2·cos θ (cas particulier : si θ=90°, R²=F1²+F2², on retrouve Pythagore : par exemple F1=30 N, F2=40 N perpendiculaires donnent R = 50 N).
Savoir reconnaître la nature d'une fonction à partir de son équation (ou de l'allure de sa courbe) permet d'identifier rapidement le type de mouvement ou de phénomène physique étudié.
| Équation | Type de courbe | Exemple physique |
|---|---|---|
| y = ax | Droite passant par l'origine | Loi d'Ohm U=RI ; loi de Hooke F=kx |
| y = ax + b | Droite affine | x(t)=x0+v0t (MRU) |
| y = ax² + bx + c | Parabole | x(t)=x0+v0t+½at² (MRUV) |
| y = Ym·sin(ωt+φ) | Sinusoïde | Oscillateur, tension alternative |
| y = y0·e^(−t/τ) | Exponentielle décroissante | Décharge d'un condensateur, radioactivité |
| y = k/x | Hyperbole | Loi de Boyle-Mariotte PV=constante |
Toute mesure d'une grandeur physique X donne une valeur approchée Xm, différente de la valeur exacte X0 (généralement inconnue), à cause des limites de l'instrument et de l'observateur.
Erreur absolue : e = Xm − X0 (peut être positive ou négative ; en général inconnue puisque X0 l'est).
Erreur relative : e/X0, sans unité, souvent exprimée en %.
Incertitude absolue ΔX : majorant estimé de |e|, fixé à partir de la précision de l'instrument de mesure (ex : demi-graduation, tolérance du constructeur). Elle a la même unité que X.
Incertitude relative (ou précision) : ΔX/X, sans unité, exprimée en % ; plus elle est petite, meilleure est la mesure.
Somme ou différence : Δ(a+b) = Δa + Δb et Δ(a−b) = Δa + Δb (les incertitudes absolues s'ajoutent toujours, même pour une différence).
Produit : Δ(a·b)/(a·b) = Δa/a + Δb/b (les incertitudes relatives s'ajoutent).
Quotient : Δ(a/b)/(a/b) = Δa/a + Δb/b (même règle que pour le produit).
Puissance : Δ(aⁿ)/aⁿ = n·Δa/a (utile pour un volume a³, une aire a², une énergie v², etc.).
On mesure une longueur L par différence de deux repères sur une règle graduée en mm : x1 = (2,5 ± 0,1) cm, x2 = (14,8 ± 0,1) cm.
L = x2 − x1 = 12,3 cm ; ΔL = Δx1 + Δx2 = 0,1+0,1 = 0,2 cm → L = (12,3 ± 0,2) cm (erreur relative ΔL/L ≈ 1,6 %).
Pour un périmètre P = 2(L+l) avec l = (5,4 ± 0,1) cm : P = 2×17,7 = 35,4 cm ; ΔP = 2(ΔL+Δl) = 2×0,3 = 0,6 cm → P = (35,4 ± 0,6) cm.
Produit (aire) : A = L×l = 12,3×5,4 = 66,42 cm². ΔA/A = 0,2/12,3 + 0,1/5,4 ≈ 0,0163+0,0185 = 0,0348 (≈3,5 %). ΔA = 66,42×0,0348 ≈ 2,3 cm² → 1 chiffre significatif : ΔA ≈ 2 cm². Résultat : A = (66 ± 2) cm².
Quotient (vitesse) : d = (100,0 ± 0,5) m, t = (9,58 ± 0,01) s. v = d/t = 10,44 m/s. Δv/v = 0,5/100 + 0,01/9,58 ≈ 0,005+0,0010 = 0,006 (0,6 %). Δv = 10,44×0,006 ≈ 0,06 m/s. Résultat : v = (10,44 ± 0,06) m/s.
Un résultat de mesure s'écrit toujours : X = (Xm ± ΔX) unité, en respectant deux règles :
1) L'incertitude ΔX ne s'écrit qu'avec 1 (parfois 2) chiffre(s) significatif(s) — inutile d'être plus précis sur l'erreur elle-même.
2) La valeur mesurée Xm est arrondie au même rang décimal que ΔX (on ne peut pas être plus précis sur la mesure que sur son incertitude).
Masse volumique d'un cube de fer : arête a = (2,00 ± 0,02) cm, masse m = (62,5 ± 0,1) g.
a³ = 8,00 cm³ ; Δ(a³)/a³ = 3×Δa/a = 3×0,01 = 0,03 (3 %).
ρ = m/a³ = 62,5/8,00 = 7,81 g/cm³ ; Δρ/ρ = Δm/m + 3Δa/a = 0,0016+0,03 ≈ 0,032 (3,2 %).
Δρ = 7,81×0,032 ≈ 0,25 g/cm³ → arrondi à 1 chiffre significatif : 0,2 g/cm³.
Résultat correctement présenté : ρ = (7,8 ± 0,2) g/cm³ (à comparer à la valeur tabulée du fer : 7,87 g/cm³ — cohérent avec l'intervalle).
| Grandeur de base | Unité S.I. | Symbole |
|---|---|---|
| Longueur | mètre | m |
| Masse | kilogramme | kg |
| Temps | seconde | s |
| Intensité électrique | ampère | A |
| Température | kelvin | K |
| Quantité de matière | mole | mol |
| Intensité lumineuse | candela | cd |
| Grandeur dérivée | Unité | Équivalence en unités de base |
|---|---|---|
| Force | newton (N) | kg·m·s⁻² |
| Énergie, travail | joule (J) | kg·m²·s⁻² |
| Puissance | watt (W) | kg·m²·s⁻³ |
| Pression | pascal (Pa) | kg·m⁻¹·s⁻² |
| Charge électrique | coulomb (C) | A·s |
| Tension électrique | volt (V) | kg·m²·s⁻³·A⁻¹ |
Lorsqu'une grandeur x est très petite (x ≪ 1, en radians pour les angles), on peut simplifier certaines expressions :
(1+x)ⁿ ≈ 1 + n·x • sin x ≈ x • tan x ≈ x • cos x ≈ 1 − x²/2 • ln(1+x) ≈ x
Exemple : (1,02)¹⁰ ≈ 1 + 10×0,02 = 1,20 (valeur exacte : 1,219 — l'approximation reste correcte à mieux que 2 %).
En mécanique, l'approximation sinθ ≈ θ (pour θ < 15°) permet d'établir la formule simplifiée de la période du pendule simple T = 2π√(l/g), valable aux petites oscillations.
Un technicien mesure les dimensions d'une table avec un mètre ruban gradué en mm : longueur L = (152,4 ± 0,1) cm et largeur l = (74,6 ± 0,1) cm.
1) Calculer le périmètre P = 2(L+l) et l'incertitude absolue ΔP.
2) Présenter le résultat sous la forme correcte, avec le bon nombre de chiffres significatifs.
1) P = 2×(152,4 + 74,6) = 2×227,0 = 454,0 cm.
Comme P dépend d'une somme, les incertitudes absolues s'ajoutent : ΔP = 2×(ΔL + Δl) = 2×(0,1+0,1) = 0,4 cm.
2) Résultat présenté avec ΔP à 1 chiffre significatif et P arrondi au même rang décimal : P = (454,0 ± 0,4) cm. (Incertitude relative ΔP/P ≈ 0,09 %, mesure très précise.)
On veut déterminer la masse volumique d'un petit cube métallique. On mesure l'arête a = (2,00 ± 0,02) cm et la masse m = (62,5 ± 0,1) g.
1) Calculer le volume V = a³ et son incertitude relative ΔV/V.
2) En déduire ρ = m/V et son incertitude ΔV, puis présenter le résultat final ρ = (ρ ± Δρ).
3) Ce résultat est-il compatible avec le fer (ρ_fer = 7,87 g/cm³) ?
1) V = a³ = 2,00³ = 8,00 cm³. Pour une puissance : ΔV/V = 3×Δa/a = 3×(0,02/2,00) = 3×0,01 = 0,03, soit 3 %.
2) ρ = m/V = 62,5/8,00 = 7,8125 ≈ 7,81 g/cm³. Pour un quotient : Δρ/ρ = Δm/m + ΔV/V = (0,1/62,5) + 0,03 = 0,0016 + 0,03 = 0,0316 ≈ 3,2 %.
Δρ = 7,81×0,032 ≈ 0,25 g/cm³, arrondi à 1 chiffre significatif : Δρ ≈ 0,2 g/cm³.
Résultat : ρ = (7,8 ± 0,2) g/cm³.
3) L'intervalle [7,6 ; 8,0] g/cm³ contient 7,87 g/cm³ : le résultat est compatible avec du fer.
Une clé permet de serrer un boulon situé en O. On applique une force F = 40 N à l'extrémité de la clé, au point M tel que OM = 0,25 m.
1) Calculer le moment de la force M⃗ = OM⃗ ∧ F⃗ lorsque F⃗ est perpendiculaire au manche de la clé (θ = 90°).
2) Calculer ce moment lorsque la force est appliquée avec un angle θ = 40° par rapport au manche, à la même distance OM.
3) Conclure sur l'angle le plus efficace pour serrer le boulon.
1) M = OM×F×sinθ = 0,25×40×sin90° = 0,25×40×1 = 10 N·m.
2) M = 0,25×40×sin40° = 10×0,643 ≈ 6,43 N·m.
3) Le moment est maximal quand sinθ = 1, c'est-à-dire pour θ = 90° : il faut appliquer la force perpendiculairement au manche pour un serrage optimal.
Deux forces concourantes F⃗₁ et F⃗₂, de normes F1 = 45 N et F2 = 60 N, font entre elles un angle θ = 70°.
1) Établir, à partir de la construction du parallélogramme des forces, la relation donnant la norme R de la résultante en fonction de F1, F2 et θ.
2) Calculer la valeur de R.
3) Calculer l'angle α que fait R⃗ avec F⃗₁.
1) Dans le parallélogramme, le triangle formé par F⃗₁, F⃗₂ (translaté) et R⃗ a un angle intérieur de (180°−θ) opposé à R. La loi des cosinus donne R² = F1²+F2²−2F1F2cos(180°−θ) = F1²+F2²+2F1F2cosθ.
2) R² = 45²+60²+2×45×60×cos70° = 2025+3600+5400×0,342 ≈ 2025+3600+1846,8 = 7471,8 → R ≈ 86,4 N.
3) Loi des sinus dans le même triangle : sinα/F2 = sin(180°−θ)/R, avec sin(180°−70°) = sin70° = 0,940.
sinα = F2×sin70°/R = 60×0,940/86,4 ≈ 0,652 → α ≈ 40,7°.
Un élève veut déterminer expérimentalement, à l'aide de deux dynamomètres, la résultante de deux forces concourantes F⃗₁ et F⃗₂ appliquées en un même point O d'un support horizontal. Il relève :
F1 = (36,0 ± 0,5) N ; F2 = (48,0 ± 0,5) N ; angle entre les deux forces θ = 60° (l'incertitude sur θ est négligée devant celles sur F1 et F2).
10 questions · Correction immédiate
Le produit vectoriel de deux vecteurs colinéaires vaut :
La norme du produit vectoriel a⃗∧b⃗, où θ est l'angle entre a⃗ et b⃗, est donnée par :
Pour un mouvement décrit par x(t) = ½at² + v0t + x0, la dérivée dx/dt représente :
Une primitive de la fonction f(x) = cos x est :
La formule développée de sin(a+b) est :
Dans un triangle quelconque de côtés a, b, c, la loi des cosinus s'écrit (A étant l'angle opposé à a) :
Si Δa et Δb sont les incertitudes absolues sur a et b, l'incertitude absolue sur la somme (a+b) est :
L'incertitude relative sur un quotient a/b est égale à :
Un résultat de mesure est présenté sous la forme L = (12,3 ± 0,2) cm. Cela signifie que :
Parmi les unités suivantes, laquelle est une unité de base du Système International ?
