Un ébranlement est une déformation locale et brève d'un milieu matériel, provoquée par une perturbation unique. Une onde mécanique progressive est le phénomène de propagation, de proche en proche et sans transport de matière, d'une perturbation (ébranlement ou vibration) dans un milieu matériel. Seule l'énergie se propage. Si la source vibre de façon périodique, on parle d'onde progressive périodique.
Un point M du milieu, situé à la distance x de la source S, reproduit le mouvement de S avec un retard τ = x/v, où v est la célérité (vitesse de propagation) de l'onde, caractéristique du milieu. Avant l'instant t = x/v, le point M est encore au repos.
Une secousse imprimée à l'extrémité d'une corde tendue (ébranlement) se propage le long de la corde à célérité constante ; un caillou jeté dans l'eau crée une onde périodique circulaire à la surface.
La période temporelle T (en s) est la durée au bout de laquelle un point reprend le même état vibratoire ; la fréquence f = 1/T (en Hz) est le nombre de vibrations par seconde. La longueur d'onde λ (en m) est la période spatiale : distance parcourue par l'onde pendant une période T.
Relation fondamentale de propagation : λ = v·T = v/f. Une vibration sinusoïdale x(t) = Xmcos(ωt + φ) peut être représentée par un vecteur de Fresnel : vecteur de norme Xm, tournant à la vitesse angulaire ω = 2π/T = 2πf, dont l'angle avec l'axe origine à t = 0 vaut φ (phase à l'origine). Sa projection sur l'axe de référence redonne x(t) à chaque instant.
Le déphasage entre deux points M1 et M2 d'une onde, séparés par la distance Δx le long de la direction de propagation, vaut Δφ = 2π·Δx/λ. Deux points sont en phase si Δx = kλ (k entier) et en opposition de phase si Δx = (k + 1/2)λ.
La stroboscopie utilise des éclairs lumineux de fréquence réglable fe pour observer un mouvement périodique de fréquence f : l'objet paraît immobile lorsque fe = f (ou fe = f/n), ce qui permet de mesurer f ou fe avec précision.
| Type d'onde | Direction de vibration / propagation | Exemple |
|---|---|---|
| Transversale | vibration perpendiculaire à la direction de propagation | onde sur une corde, onde à la surface de l'eau, onde lumineuse |
| Longitudinale | vibration parallèle à la direction de propagation | onde sonore dans l'air (compressions/dilatations), onde sur un ressort |
Pour une source S vibrant selon yS(t) = Ymcos(ωt + φ0), un point M situé à la distance x sur la direction de propagation vibre avec un simple retard τ = x/v :
y(x,t) = Y_m·cos[2π(t/T − x/λ) + φ_0] pour t ≥ x/v (y = 0 avant).
Le mouvement de M est donc sinusoïdal, de même amplitude et fréquence que S, mais déphasé. L'onde progressive sinusoïdale possède une double périodicité : temporelle (T) et spatiale (λ).
Principe de superposition : lorsque plusieurs vibrations se rencontrent en un point, l'élongation résultante est la somme algébrique des élongations dues à chaque vibration prise séparément.
Soit x1(t) = X1mcos(ωt + φ1) et x2(t) = X2mcos(ωt + φ2). La somme x(t) = x1(t) + x2(t) est encore sinusoïdale de même pulsation ω, d'amplitude Xm et de phase φ obtenues :
— Construction de Fresnel : on additionne géométriquement les deux vecteurs tournants (règle du parallélogramme) : X_m² = X_{1m}² + X_{2m}² + 2X_{1m}X_{2m}cos(φ_2 − φ_1).
— Méthode trigonométrique : on projette chaque vecteur sur deux axes perpendiculaires (X = ΣXimcosφi ; Y = ΣXimsinφi), puis X_m = √(X² + Y²) et tanφ = Y/X.
Si φ2 − φ1 = 0 (vibrations en phase), Xm = X1m + X2m (maximum, renforcement). Si φ2 − φ1 = π (opposition), Xm = |X1m − X2m| (minimum, atténuation).
Deux sources ponctuelles S1 et S2, vibrant en phase à la même fréquence (sources synchrones et cohérentes), créent à la surface d'une cuve à ondes des figures d'interférences : zones fixes de renforcement et d'annulation de la vibration.
En un point M tel que δ = |S2M − S1M| (différence de marche) :
| Condition sur δ | Résultat en M |
|---|---|
| δ = kλ (k entier) | interférence constructive (renforcement, amplitude maximale) |
| δ = (k + 1/2)λ | interférence destructive (annulation, immobilité) |
Une onde stationnaire résulte de la superposition d'une onde progressive et de son onde réfléchie de même amplitude sur un milieu de longueur finie. Elle ne se propage plus : certains points, les nœuds, restent immobiles ; d'autres, les ventres, vibrent avec l'amplitude maximale.
À la réflexion sur une extrémité fixe, l'onde s'inverse (déphasage de π) : un nœud s'y forme. À la réflexion sur une extrémité libre, il n'y a pas d'inversion : un ventre s'y forme. Deux nœuds (ou deux ventres) consécutifs sont distants de λ/2 ; un nœud et un ventre voisins de λ/4.
Dans l'expérience de Melde, un vibreur de fréquence f impose une onde sur une corde de longueur L fixée à ses deux extrémités. Il y a résonance (onde stationnaire nette) lorsque : L = n·λ/2, soit des fréquences propres f_n = n·v/(2L), n = 1, 2, 3…, avec v = célérité sur la corde (loi de Melde : v dépend de la tension et de la masse linéique).
| Rang n | Nom | Fréquence | Nœuds / ventres (corde fixe-fixe) |
|---|---|---|---|
| 1 | fondamental | f1 = v/(2L) | 2 nœuds (extrémités), 1 ventre |
| 2 | 2e harmonique | f2 = 2f1 | 3 nœuds, 2 ventres |
| n | ne harmonique | fn = n·f1 | (n+1) nœuds, n ventres |
Dans les instruments à cordes (guitare, violon), la corde fixée aux deux bouts vibre selon fn = n·v/(2L) : le fondamental f1 donne la hauteur (note), les harmoniques n·f1 donnent le timbre. Pour un tuyau sonore fermé à une extrémité, seuls les harmoniques impairs existent : fn = (2n−1)·v/(4L).
Une source monochromatique éclaire deux fentes fines et rapprochées S1, S2 (distance a), qui se comportent comme deux sources secondaires cohérentes (même fréquence, déphasage constant, car issues du même front d'onde). Elles produisent sur un écran, à la distance D, des franges d'interférences rectilignes et équidistantes.
Le chemin optique le long d'un rayon est L = n·d (n : indice du milieu, d : distance géométrique). En un point M de l'écran repéré par x (distance au centre O), la différence de marche vaut : δ = S₂M − S₁M ≈ a·x/D (car D ≫ a).
Franges brillantes (constructives) : δ = kλ → x_k = k·λD/a. Franges sombres (destructives) : δ = (k+1/2)λ.
Interfrange (distance entre deux franges brillantes — ou sombres — consécutives) : i = λD/a. La frange centrale (x = 0, δ = 0) est toujours brillante.
Déplacement des franges : l'insertion d'une lame transparente d'épaisseur e et d'indice n devant l'une des fentes modifie le chemin optique de ce rayon et décale toute la figure d'interférence, d'une distance Δx = (n − 1)·e·D/a, vers le côté de la lame.
Battements optiques : la superposition de deux vibrations lumineuses de fréquences très voisines f1 ≈ f2 (par exemple un doublet spectral) produit une amplitude résultante modulée à la fréquence de battement f_b = |f_1 − f_2|, ce qui se traduit par une variation périodique du contraste des franges observées.
Interférences en lumière blanche : chaque radiation (couleur) de la lumière blanche donne son propre système de franges d'interfrange i = λD/a. Seule la frange centrale (δ = 0) est commune à toutes les longueurs d'onde : elle reste blanche. De part et d'autre apparaissent quelques franges irisées (colorées), puis un fond uniformément blanchâtre par superposition de tous les systèmes de franges décalés.
Avec a = 1 mm, D = 2 m et λ = 500 nm, l'interfrange vaut i = λD/a = 500×10⁻⁹ × 2 / 1×10⁻³ = 1×10⁻³ m = 1 mm.
L'effet photoélectrique est l'émission d'électrons (photoélectrons) par une surface métallique éclairée par une radiation lumineuse de fréquence suffisamment élevée. Il fut observé pour la première fois par Hertz (1887) : une électrode soumise à un rayonnement ultraviolet facilite le passage d'une étincelle électrique entre deux électrodes.
Caractéristique d'une cellule photoélectrique : pour une tension accélératrice U suffisante, le courant photoélectrique I atteint une valeur de saturation Isat (proportionnelle à l'intensité lumineuse). Pour une tension retardatrice négative, I s'annule à U = −U0 (tension d'arrêt), telle que e·U_0 = Ec_{max}. En dessous d'une fréquence seuil, aucun courant n'apparaît, quelle que soit l'intensité lumineuse.
Interprétation d'Einstein (aspect corpusculaire) : la lumière est constituée de grains d'énergie, les photons, d'énergie E = hν = hc/λ (h = 6,63×10⁻³⁴ J·s, constante de Planck). Un électron du métal absorbe un photon entier ; s'il reçoit assez d'énergie pour vaincre le travail d'extraction W0 (caractéristique du métal), il est libéré avec une énergie cinétique maximale donnée par la relation d'Einstein :
Ec_{max} = hν − W_0 = hc/λ − W_0
Fréquence seuil (en deçà, aucune émission n'est possible) : ν_0 = W_0/h, soit une longueur d'onde seuil λ_0 = hc/W_0. Augmenter l'intensité lumineuse (à ν > ν₀ fixée) augmente le nombre d'électrons émis par seconde (donc I), mais pas leur énergie cinétique maximale, qui ne dépend que de ν.
Application : porte automatique. Un faisceau lumineux (souvent infrarouge) est dirigé en permanence sur une cellule photoélectrique placée en vis-à-vis, de l'autre côté du passage. Lorsqu'une personne coupe le faisceau, le courant photoélectrique chute brusquement ; le circuit électronique détecte cette variation et commande l'ouverture de la porte. Le même principe est utilisé dans les barrières de sécurité, les compteurs d'objets et les relais crépusculaires d'éclairage public.
Une corde tendue est le siège d'une onde progressive sinusoïdale de fréquence f = 20 Hz, se propageant à la célérité v = 8 m/s.
1. Calculer la période T de l'onde.
2. Calculer la longueur d'onde λ.
3. Calculer la durée nécessaire pour que l'onde parcoure une distance de 2 m.
1. T = 1/f = 1/20 = 0,05 s = 50 ms.
2. λ = v/f = 8/20 = 0,4 m = 40 cm.
3. t = d/v = 2/8 = 0,25 s.
Un dispositif de fentes de Young est éclairé par un laser vert de longueur d'onde λ = 500 nm. La distance entre les fentes est a = 1 mm et la distance fentes-écran est D = 2 m.
1. Calculer l'interfrange i.
2. Calculer la position x4 de la 4e frange brillante par rapport à la frange centrale (k = 0).
3. Un point M de l'écran est situé à x = 3,5 mm du centre. Calculer la différence de marche δ en ce point et préciser la nature (brillante ou sombre) de la frange qui s'y trouve.
1. i = λD/a = (500×10⁻⁹ × 2)/(1×10⁻³) = 1×10⁻³ m = 1 mm.
2. x4 = 4·i = 4 × 1 mm = 4 mm.
3. δ = a·x/D = (1×10⁻³ × 3,5×10⁻³)/2 = 1,75×10⁻⁶ m = 1750 nm. δ/λ = 1750/500 = 3,5 = 3 + 1/2 : c'est un multiple demi-entier de λ, donc M est le siège d'une frange sombre (interférence destructive).
Dans une expérience de Melde, une corde de longueur L = 80 cm, fixée à ses deux extrémités, est parcourue par des ondes progressives de célérité v = 40 m/s.
1. Calculer la fréquence fondamentale f1 de résonance.
2. Calculer la longueur d'onde λ1 associée et vérifier la relation λ1 = v/f1.
3. Calculer la fréquence f3 du 3e harmonique et indiquer le nombre de nœuds et de ventres observés dans ce cas.
1. f1 = v/(2L) = 40/(2×0,80) = 40/1,6 = 25 Hz.
2. λ1 = 2L = 1,6 m. Vérification : v = λ1·f1 = 1,6 × 25 = 40 m/s ✓ (conforme à la donnée).
3. f3 = 3·f1 = 3 × 25 = 75 Hz. Pour n = 3, la corde présente 4 nœuds (dont les 2 extrémités) et 3 ventres.
La cathode d'une cellule photoélectrique, en un métal de travail d'extraction W0 = 2,00 eV, est éclairée par une radiation de longueur d'onde λ = 400 nm. On donne h = 6,63×10⁻³⁴ J·s, c = 3,00×10⁸ m/s, e = 1,60×10⁻¹⁹ C, me = 9,1×10⁻³¹ kg.
1. Calculer, en eV, l'énergie E du photon incident.
2. Calculer la fréquence seuil ν0 et la longueur d'onde seuil λ0 du métal. L'effet photoélectrique a-t-il lieu ? Justifier.
3. Calculer l'énergie cinétique maximale Ecmax des photoélectrons émis (en eV puis en J).
4. En déduire la vitesse maximale vmax des électrons émis, puis la tension d'arrêt U0 de la cellule.
1. E = hc/λ = (6,63×10⁻³⁴ × 3,00×10⁸)/(400×10⁻⁹) = 4,97×10⁻¹⁹ J = 4,97×10⁻¹⁹/1,60×10⁻¹⁹ ≈ 3,11 eV.
2. ν0 = W0/h = (2,00 × 1,60×10⁻¹⁹)/(6,63×10⁻³⁴) ≈ 4,83×10¹⁴ Hz. λ0 = hc/W0 ≈ 6,21×10⁻⁷ m ≈ 620 nm. Comme λ = 400 nm < λ0 ≈ 620 nm (donc ν > ν0), l'énergie du photon dépasse le travail d'extraction : l'effet photoélectrique a lieu.
3. Ecmax = E − W0 = 3,11 − 2,00 = 1,11 eV = 1,11 × 1,60×10⁻¹⁹ ≈ 1,78×10⁻¹⁹ J.
4. vmax = √(2·Ecmax/me) = √(2 × 1,78×10⁻¹⁹ / 9,1×10⁻³¹) ≈ √(3,91×10¹¹) ≈ 6,2×10⁵ m/s. Tension d'arrêt : U0 = Ecmax/e ≈ 1,11 V.
On réalise l'expérience des fentes de Young avec deux fentes distantes de a = 1,2 mm, l'écran d'observation étant placé à D = 2,4 m des fentes. La source est un laser de longueur d'onde λ inconnue. On mesure sur l'écran la distance séparant la 1re et la 11e frange brillante (soit 10 interfranges) : elle vaut 9,0 mm.
10 questions · Correction immédiate
Quelle est la relation correcte entre la longueur d'onde λ, la célérité v et la fréquence f d'une onde progressive périodique ?
La période temporelle T d'une onde périodique est :
Le déphasage Δφ entre deux points d'une onde séparés par une distance Δx (longueur d'onde λ) vaut :
Une onde est dite transversale lorsque :
Deux vibrations sinusoïdales de même fréquence et de même amplitude Xm, en phase (φ₂ − φ₁ = 0), se superposent. L'amplitude résultante vaut :
Dans l'expérience des fentes de Young (fentes distantes de a, écran à distance D), l'interfrange i s'exprime par :
En un point M de l'écran, on observe une frange sombre (interférence destructive) lorsque la différence de marche δ vaut :
Sur une corde vibrant en onde stationnaire, la distance entre deux nœuds consécutifs vaut :
L'effet photoélectrique ne peut se produire sur un métal donné que si la fréquence ν de la lumière incidente vérifie :
La relation d'Einstein donnant l'énergie cinétique maximale Ecmax des photoélectrons émis s'écrit :
