Le travail d'une force constante F dont le point d'application se déplace de A à B est W(F) = F·AB·cos α (en joules, J), α étant l'angle entre la force et le déplacement. La puissance instantanée est P = dW/dt, soit P = F·v en translation (v = vitesse du point d'application) et P = C·ω en rotation (C = moment du couple, ω = vitesse angulaire).
Solide en translation : tout point du solide ayant la même vitesse v, l'énergie cinétique du solide de masse m est Ec = ½mv² (Ec en J, m en kg, v en m/s).
Solide en rotation autour d'un axe fixe (Δ) : l'énergie cinétique dépend du moment d'inertie J_Δ du solide par rapport à l'axe et de sa vitesse angulaire ω : Ec = ½J_Δω² (J en kg·m², ω en rad/s).
Dans un référentiel galiléen, entre deux instants t₁ et t₂, la variation de l'énergie cinétique d'un système est égale à la somme des travaux de toutes les forces extérieures qui lui sont appliquées :
ΔEc = Ec(t₂) − Ec(t₁) = ΣW(forces extérieures)
En rotation autour d'un axe fixe, le théorème s'écrit de façon analogue avec les moments des forces (couples) : ΔEc = ΣW(couples) = ∫C dθ.
Si un système mécanique est isolé (aucune force extérieure) ou pseudo-isolé (les forces extérieures se compensent, ou seules des forces conservatives — poids, force de rappel — travaillent, sans frottement), le TEC relie directement Ec à Ep : la variation d'énergie cinétique compense exactement celle de l'énergie potentielle. C'est ce cas particulier qui conduit à la conservation de l'énergie mécanique étudiée au §3.
Une force est dite conservative si son travail entre deux points ne dépend pas du chemin suivi. À toute force conservative est associée une énergie potentielle Ep telle que W_{A→B}(F) = −ΔEp = Ep(A) − Ep(B) (théorème de l'énergie potentielle).
Énergie potentielle de pesanteur : Epp = mgh + cte, h étant l'altitude repérée par rapport à une origine choisie.
Énergie potentielle élastique (ressort de raideur k, allongement/compression x) : Epe = ½kx².
Énergie potentielle de torsion (fil de torsion de constante C, angle de torsion θ) : Ept = ½Cθ² (C en N·m/rad).
Ep est toujours définie à une constante additive près, liée au choix de l'origine (position d'équilibre du ressort, position d'angle nul, niveau de référence de l'altitude). Le travail d'une force conservative ne dépend que des positions initiale et finale, jamais du chemin parcouru.
L'énergie mécanique d'un système est la somme de son énergie cinétique et de son énergie potentielle : Em = Ec + Ep.
Entre deux instants, la variation de l'énergie mécanique est égale à la somme des travaux des seules forces non conservatives (frottements, chocs, moteur...) : ΔEm = W(forces non conservatives).
Système isolé ou pseudo-isolé (aucun frottement, aucune force non conservative ne travaille) : Em = constante.
Non-conservation : si des frottements ou un choc inélastique interviennent, ΔEm = W(frottements) < 0 : l'énergie mécanique diminue, l'énergie perdue étant dissipée sous forme de chaleur ou de déformation.
Lors d'un choc entre deux solides sur une même droite, les forces de choc sont des forces intérieures : la quantité de mouvement totale du système se conserve toujours, m₁v₁ + m₂v₂ = m₁v₁' + m₂v₂', que le choc soit élastique ou non.
Choc élastique : l'énergie cinétique totale est conservée (Em conservée). Choc mou (inélastique) : les solides restent solidaires après le choc, une partie de l'énergie cinétique est perdue (ΔEc < 0), l'énergie mécanique n'est pas conservée pendant le choc.
Un mobile animé d'un mouvement rectiligne sinusoïdal (MRS) a une élongation qui varie dans le temps selon :
x(t) = Xm cos(ωt + φ)
d'où la vitesse v(t) = ẋ(t) = −Xmω sin(ωt + φ) et l'accélération a(t) = ẍ(t) = −Xmω² cos(ωt + φ) = −ω²x(t). Xm est l'amplitude, ω la pulsation propre (rad/s), φ la phase à l'origine, T = 2π/ω la période propre.
Un solide de masse m, fixé à un ressort horizontal de raideur k, glisse sans frottement. La seule force qui travaille est la force de rappel F = −kx. La deuxième loi de Newton projetée sur l'axe donne mẍ = −kx, soit l'équation différentielle caractéristique de l'oscillateur harmonique :
ẍ + ω²x = 0 avec ω² = k/m
La solution est x(t) = Xm cos(ωt + φ), de période propre T = 2π√(m/k).
Sur le plan énergétique : Ec = ½mv² = ½mXm²ω² sin²(ωt+φ) et Ep = ½kx² = ½kXm² cos²(ωt+φ). Comme k = mω², la somme donne :
Em = Ec + Ep = ½kXm² = constante
En l'absence de frottement, l'énergie mécanique de l'oscillateur harmonique se conserve : elle s'échange en permanence entre forme cinétique (maximale à x=0) et forme potentielle élastique (maximale en x=±Xm).
Par analogie avec la translation, un mouvement de rotation sinusoïdal est décrit par θ(t) = θm cos(ωt + φ), avec θ̇(t) = −θmω sin(ωt+φ) et θ̈(t) = −ω²θ(t).
Un solide de moment d'inertie J, suspendu à un fil de torsion de constante C, est écarté d'un angle θ de sa position d'équilibre. Le fil exerce un couple de rappel C_r = −Cθ. La relation fondamentale de la dynamique de rotation J θ̈ = −Cθ donne :
θ̈ + ω²θ = 0 avec ω² = C/J
de période propre T = 2π√(J/C).
Énergétique : Ec = ½Jθ̇², Ep = ½Cθ², et par conservation (pas de frottement) :
Em = ½Jθ̇² + ½Cθ² = ½Cθm² = constante
Un pendule pesant est un solide de masse m, de moment d'inertie J par rapport à un axe fixe horizontal ne passant pas par le centre de gravité G, à une distance d = OG de cet axe. Écarté d'un angle θ, le moment du poids par rapport à l'axe vaut M(P) = −mgd sin θ. La relation fondamentale de la dynamique de rotation donne l'équation différentielle exacte du mouvement :
θ̈ + (mgd/J) sin θ = 0
Cette équation n'est pas linéaire en θ (à cause de sin θ) : le mouvement n'est donc pas rigoureusement sinusoïdal — d'où le terme d'oscillateur non harmonique.
Pour de petites amplitudes (θ < ~15°, exprimé en radians), sin θ ≈ θ, l'équation se linéarise :
θ̈ + (mgd/J) θ = 0, soit ω² = mgd/J et T = 2π√(J/(mgd))
Le mouvement redevient alors approximativement sinusoïdal (oscillateur harmonique approché), de période indépendante de l'amplitude (isochronisme des petites oscillations).
Le pendule simple est un point matériel de masse m suspendu à un fil inextensible, sans masse, de longueur l. Ici J = ml² et d = l, d'où l'équation exacte θ̈ + (g/l) sin θ = 0, approximée pour petites oscillations en θ̈ + (g/l) θ = 0, de période propre :
T = 2π√(l/g)
Sur le plan énergétique, qu'il y ait ou non petites oscillations, en l'absence de frottement l'énergie mécanique se conserve toujours : Em = ½Jθ̇² + mgd(1 − cos θ) = constante (Ep prise nulle à la position d'équilibre θ=0). C'est cette conservation, valable pour toute amplitude, qui permet de calculer une vitesse angulaire sans passer par l'équation différentielle.
| Grandeur | Translation | Rotation |
|---|---|---|
| Énergie cinétique | ½mv² | ½Jω² |
| Force / couple de rappel | F = −kx | C_r = −Cθ |
| Énergie potentielle | ½kx² | ½Cθ² |
| Équation différentielle | ẍ + (k/m)x = 0 | θ̈ + (C/J)θ = 0 |
| Période propre | T = 2π√(m/k) | T = 2π√(J/C) |
| Énergie mécanique | ½kXm² | ½Cθm² |
Une bille de masse m = 500 g glisse sans frottement sur un plan horizontal à la vitesse v = 2 m/s, puis vient comprimer un ressort horizontal de raideur k = 50 N/m fixé à un mur.
1) Calculer l'énergie cinétique de la bille juste avant le contact avec le ressort.
2) En supposant qu'il n'y a aucun frottement, calculer la compression maximale x du ressort.
1) Ec = ½mv² = ½ × 0,5 × 2² = 1 J.
2) Le système {bille + ressort} est pseudo-isolé (pas de frottement) : l'énergie mécanique se conserve. À la compression maximale, la vitesse est nulle donc toute l'énergie cinétique initiale est devenue énergie potentielle élastique :
½kx² = Ec ⟹ x² = 2Ec/k = 2×1/50 = 0,04 m² ⟹ x = 0,2 m
La compression maximale du ressort est x = 20 cm.
Un solide de masse m = 250 g est fixé à un ressort horizontal de raideur k = 40 N/m. On l'écarte de sa position d'équilibre de Xm = 5 cm puis on le lâche sans vitesse initiale à l'instant t = 0. Les frottements sont négligés.
1) Établir l'équation différentielle du mouvement et calculer la pulsation propre ω et la période propre T.
2) Écrire l'équation horaire x(t) du mouvement.
3) Calculer la vitesse maximale atteinte par le solide.
4) Calculer l'énergie mécanique du système et vérifier la cohérence des deux méthodes de calcul (à x = 0 et à x = Xm).
1) La 2ᵉ loi de Newton donne mẍ = −kx, soit ẍ + (k/m)x = 0. ω = √(k/m) = √(40/0,25) = √160 ≈ 12,65 rad/s. T = 2π/ω ≈ 0,497 s.
2) À t = 0, x(0) = Xm et v(0) = 0 : la solution est en cosinus pur, x(t) = 0,05 cos(12,65 t) (x en mètres, t en secondes).
3) La vitesse maximale est atteinte au passage par x = 0 : vmax = Xm·ω = 0,05 × 12,65 ≈ 0,632 m/s.
4) Méthode 1 (à x = ±Xm, v = 0) : Em = ½kXm² = ½ × 40 × 0,05² = 0,05 J. Méthode 2 (à x = 0, v = vmax) : Em = ½mvmax² = ½ × 0,25 × 0,632² ≈ 0,05 J. Les deux méthodes donnent la même valeur : Em = 0,05 J, ce qui confirme la conservation de l'énergie mécanique.
Un pendule simple est constitué d'une bille de masse m = 100 g suspendue à un fil inextensible et sans masse de longueur l = 0,80 m. On l'écarte de sa position d'équilibre d'un angle θm = 30° puis on le lâche sans vitesse initiale. On prendra g = 9,8 m/s² et on négligera tout frottement.
1) Calculer, par conservation de l'énergie mécanique, la vitesse de la bille lors de son passage à la position d'équilibre.
2) Calculer la période propre des petites oscillations correspondantes. Ce résultat est-il rigoureusement valable pour θm = 30° ? Justifier.
1) Le système {pendule, Terre} est isolé (pas de frottement) : Em se conserve. En prenant l'origine des altitudes à la position d'équilibre, la hauteur de chute est h = l(1 − cos θm) = 0,8×(1 − cos30°) = 0,8×(1 − 0,866) ≈ 0,1072 m.
À la position initiale (v=0) : Em = mgh. À la position d'équilibre (h=0) : Em = ½mv². En égalant : v = √(2gh) = √(2×9,8×0,1072) = √2,101 ≈ 1,45 m/s (la masse se simplifie, le résultat ne dépend pas de m).
2) T = 2π√(l/g) = 2π√(0,8/9,8) = 2π×0,2858 ≈ 1,80 s. Ce résultat n'est rigoureusement valable que pour de petites amplitudes (sin θ ≈ θ) ; à 30°, l'approximation reste correcte à quelques % près, mais l'équation exacte du mouvement (non harmonique) donnerait une période légèrement supérieure.
Une tige homogène de masse M = 300 g et de longueur L = 50 cm peut osciller sans frottement autour d'un axe horizontal fixe passant par l'une de ses extrémités. On donne le moment d'inertie de la tige par rapport à cet axe : J = ML²/3. On prendra g = 9,8 m/s².
1) Calculer J, ainsi que la distance d entre l'axe et le centre de gravité G de la tige.
2) Établir l'équation différentielle du mouvement pour de petites oscillations et calculer la pulsation propre ω puis la période propre T.
3) On lâche la tige sans vitesse initiale d'un angle θm = 0,10 rad (compatible avec l'approximation des petites oscillations). Calculer la vitesse angulaire maximale, puis la vitesse linéaire maximale de l'extrémité libre de la tige.
1) J = ML²/3 = 0,3×0,5²/3 = 0,3×0,25/3 = 0,025 kg·m². Le centre de gravité d'une tige homogène est en son milieu : d = L/2 = 0,25 m.
2) Moment du poids par rapport à l'axe : M(P) = −Mgd sinθ. La relation fondamentale de la dynamique de rotation donne Jθ̈ = −Mgd sinθ, soit pour de petites oscillations (sinθ≈θ) : θ̈ + (Mgd/J)θ = 0.
ω² = Mgd/J = (0,3×9,8×0,25)/0,025 = 0,735/0,025 = 29,4 ⟹ ω ≈ 5,42 rad/s. T = 2π/ω ≈ 1,16 s.
3) Le mouvement angulaire est sinusoïdal : θ̇max = ω·θm = 5,42 × 0,10 ≈ 0,542 rad/s. La vitesse linéaire de l'extrémité libre, située à la distance L de l'axe, vaut v = θ̇max × L = 0,542 × 0,5 ≈ 0,271 m/s.
Sur un rail horizontal parfaitement lisse (sans frottement), un ressort de raideur k = 100 N/m a une extrémité fixe et l'autre reliée à un solide (S₁) de masse m₁ = 200 g, initialement immobile, le ressort étant à sa longueur naturelle (position O, origine des abscisses). Un second solide (S₂) de masse m₂ = 300 g, lancé sur le rail à la vitesse v₀ = 4 m/s, vient percuter (S₁) exactement au point O et s'accroche à lui : le choc est parfaitement mou, les deux solides forment ensuite un système (S) de masse M = m₁+m₂ solidaire du ressort.
10 questions · Correction immédiate
Quelle est l'expression de l'énergie cinétique d'un solide en translation, de masse m et de vitesse v ?
Un solide de moment d'inertie J tourne à la vitesse angulaire ω autour d'un axe fixe. Son énergie cinétique de rotation vaut :
D'après le théorème de l'énergie cinétique, entre deux instants, la variation de l'énergie cinétique d'un système est égale à :
L'énergie potentielle élastique emmagasinée par un ressort de raideur k déformé de x est :
Dans un système mécanique isolé ou pseudo-isolé (sans frottement), l'énergie mécanique :
Lors d'un choc parfaitement mou (inélastique) entre deux solides sur un rail, à vitesses colinéaires :
Pour un pendule élastique horizontal sans frottement (masse m, raideur k), l'équation différentielle du mouvement s'écrit :
La période propre d'un pendule de torsion de moment d'inertie J et de constante de torsion C est :
L'équation différentielle exacte du mouvement d'un pendule pesant (moment d'inertie J, distance axe-centre de gravité d, écart angulaire θ) est :
Pour de faibles amplitudes, la période propre du pendule simple de longueur l est :
