Une urne contient deux boules blanches et trois boules noires, toutes indiscernables au toucher. On tire simultanément et au hasard deux boules de l'urne et on note leur couleur. On définit sur l'univers $\Omega$ de cette expérience aléatoire la variable aléatoire réelle $X$ par :

$X = -1$ si les deux boules tirées sont blanches ; $X = 0$ si l'une est blanche et l'autre noire ; $X = 1$ si les deux boules tirées sont noires.

1. 1Déterminer la loi de probabilité de $X$.
2. 2Calculer l'espérance mathématique de $X$.
3. 3
   1. a. Définir la fonction de répartition $F$ de $X$.
   2. b. Tracer la courbe représentative de $F$ dans un repère orthogonal (on prendra 1 cm en abscisse et 5 cm en ordonnée pour unités graphiques).

Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormal direct $(O,\vec u,\vec v)$, on considère les nombres complexes $z_1=\sqrt3+i$, $z_2=-\sqrt3+i$ et $z_3=-2i$.

1. 1Écrire une équation de degré 3 dont $z_1$, $z_2$ et $z_3$ sont solutions.
2. 2Écrire les nombres complexes $z_1$, $z_2$ et $z_3$ sous forme trigonométrique.
3. 3
   1. a. Placer les points $A$, $B$ et $C$ d'affixes respectives $z_1$, $z_2$ et $z_3$ dans le repère $(O,\vec u,\vec v)$.
   2. b. Montrer qu'une mesure de chacun des angles du triangle $ABC$ est $\dfrac{\pi}{3}$ radian.
   3. c. En déduire la nature du triangle $ABC$.

Soit $g$ la fonction de la variable réelle $x$ définie sur $]-\infty\,;0[$ par $g(x) = 2\ln(-x)$.

1. 1Étudier les variations de $g$, puis dresser son tableau de variation.
2. 2Calculer $g(-1)$ et en déduire le signe de $g(x)$ sur $]-\infty\,;0[$.

On considère la fonction numérique $f$ de la variable réelle $x$ définie par :

$f(x) = -2x+1+2x\ln|x|$ si $x<0$ ; $\quad f(x) = (x+2)e^{-x}-1$ si $x \ge 0$.

On désigne par $(C)$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormé $(O,\vec i,\vec j)$, d'unité graphique 1 cm.

1. 1Déterminer l'ensemble de définition de la fonction $f$.
2. 2
   1. a. Étudier la continuité et la dérivabilité de $f$ au point $x=0$.
   2. b. Pour $x\in\,]-\infty\,;0[$, exprimer $f'(x)$ en fonction de $g(x)$.
3. 3Étudier les variations de $f$ et dresser son tableau de variation.
4. 4Montrer qu'il existe deux solutions et deux seulement $\alpha$ et $\beta$ de l'équation $f(x)=0$ vérifiant $1<\alpha<\dfrac32$ et $-4<\beta<-3$ (on ne cherchera pas à calculer $\alpha$ et $\beta$).
5. 5Étudier les branches infinies à $(C)$.
6. 6Tracer la courbe $(C)$.
7. 7$\alpha$ désigne le réel tel que $1<\alpha<\dfrac32$.
   1. a. Calculer l'aire $A(\alpha)$ de l'ensemble des points $M(x,y)$ tels que $0\le x\le\alpha$ et $0\le y\le f(x)$.
   2. b. Calculer la limite de $A(\alpha)$ lorsque $\alpha$ tend vers $0$.

Soit $h$ la restriction de $f$ à l'intervalle $I=\,]-\infty\,;-1]$.

1. 1Montrer que $h$ définit une bijection de $I$ vers un intervalle $J$ à déterminer. On note $h^{-1}$ la réciproque de $h$.
2. 2Dresser le tableau de variation de $h^{-1}$.
3. 3Tracer $(H)$, la courbe représentative de $h^{-1}$, dans le même repère que $(C)$.

L'espace vectoriel $\mathbb{R}^3$ étant rapporté à une base $(\vec i,\vec j,\vec k)$, on considère l'application $f$ de $\mathbb{R}^3$ dans $\mathbb{R}^3$ qui, à tout vecteur $u(x,y,z)$, associe le vecteur $u'=f(u)$ dont les composantes $(x',y',z')$ dans la base $(\vec i,\vec j,\vec k)$ sont définies par :

$x' = -x+ay+2z$ ; $\quad y' = x+2y+z$ ; $\quad z' = x+y$, où $a\in\mathbb{R}$.

1. 1Écrire la matrice de l'application $f$ dans la base $(\vec i,\vec j,\vec k)$.
2. 2Pour quelles valeurs de $a$, $f$ est-elle bijective ?
3. 3Dans la suite, on pose $a=1$.
   1. a. Déterminer l'ensemble $B$ des vecteurs de $\mathbb{R}^3$ invariants par $f$.
   2. b. Déterminer le noyau $\operatorname{Ker} f$ et l'image $\operatorname{Im} f$ de $f$. En déduire une base pour chacun des sous-espaces.
4. 4Soit $u$ un vecteur de $\mathbb{R}^3$ de composantes $(1,\alpha,\beta)$ dans la base $(\vec i,\vec j,\vec k)$. Calculer $\alpha$ et $\beta$ pour que $u\in\operatorname{Ker} f$.

On considère dans l'ensemble $\mathbb{C}$ des nombres complexes l'équation $(E)$ : $Z^2-(1+3i)Z+4+4i=0$.

1. 1Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation $(E)$. On appellera $Z_1$ la solution imaginaire pure et $Z_2$ l'autre solution.
2. 2Dans le plan complexe $(P)$ rapporté au repère orthonormal direct $(O,\vec u,\vec v)$, on considère les quatre points $A$, $B$, $C$, $D$ d'affixes respectives $3$ ; $4i$ ; $-2+3i$ ; $1-i$.
   1. a. Placer les points $A$, $B$, $C$ et $D$ dans le plan.
   2. b. Calculer les affixes des vecteurs $\vec{AB}$, $\vec{DC}$, $\vec{CB}$, $\vec{DA}$.
   3. c. En déduire la nature du quadrilatère $ABCD$.

1. 1Montrer qu'il existe deux nombres réels $a$ et $b$ tels que, pour tout $t\in\mathbb{R}\setminus\{-1\}$ : $\dfrac{1-t}{1+t} = a+\dfrac{b}{1+t}$
2. 2Calculer $\displaystyle\int_0^x \dfrac{1-t}{1+t}\,dt$.

Soit $f$ la fonction numérique de la variable réelle $x$ définie par $f(x) = -x+\ln(x+1)^2$, où $\ln$ désigne le logarithme népérien.

1. 1Donner l'ensemble de définition $E_f$ de $f$.
2. 2Déterminer les variations de $f$.
3. 3Dresser le tableau de variation de $f$.
4. 4Montrer que l'équation $f(x)=0$ admet une solution unique $\alpha$ dans l'intervalle $]2\,;3[$.
5. 5Calculer $f(x)$ et $f'(x)$ pour les valeurs de $x$ suivantes : $-2\,;\ -\dfrac32\,;\ 0\,;\ 5$.
6. 6Étudier les branches infinies à $(C)$, courbe représentative de $f$.
7. 7Tracer la courbe représentative $(C)$ de $f$ dans un plan $(P)$ muni d'un repère orthonormé $(O,\vec i,\vec j)$ d'unité graphique 1 cm, ainsi que les tangentes à cette courbe aux points d'abscisses $-2$ et $0$.

Soit $h$ la fonction définie par $h(x)=-f(x)$ pour tout $x\in\,]-1\,;+\infty[$.

1. 1Dresser le tableau de variation de $h$.
2. 2Tracer $(C')$, la courbe de la fonction $h$, dans le même repère que $(C)$.

On considère la série statistique à double variable $X$ et $Y$ définie par le tableau :

1. 1Déterminer les réels $a$ et $b$ pour que le point moyen $G$ du nuage statistique ait pour coordonnées $(1\,;\,-2)$.
2. 2Dans la suite, on prendra $a=2$ et $b=-4$.
3. a. Représenter graphiquement les points du nuage de cette série statistique.
4. b. Déterminer l'équation de la droite de régression de $X$ en $Y$.
5. c. Calculer le coefficient de corrélation linéaire entre $X$ et $Y$, puis interpréter le résultat.

1. 1Résoudre dans l'ensemble $\mathbb C$ des nombres complexes l'équation $(E): z^2+8\sqrt3-8i=0$.
2. a. En utilisant la forme trigonométrique.
3. b. En utilisant la forme algébrique. On pourra admettre que $8+4\sqrt3=(\sqrt2+\sqrt6)^2$.
4. 2Placer les images des solutions $z_1$ et $z_2$ de $(E)$ sur un cercle trigonométrique.
5. 3Déduire de ce qui précède la valeur exacte de $\cos\left(\dfrac{5\pi}{12}\right)$ et $\sin\left(\dfrac{5\pi}{12}\right)$.

1. 1Résoudre l'équation différentielle $(E_0): y''+2y'+y=0$.
2. 2Déterminer la solution particulière $u$ sachant que $u(0)=1$ et $u'(0)=0$.

Soit $f$ la fonction numérique de la variable réelle $x$ définie par : $$f(x)=\begin{cases}(x+1)e^{-x} & \text{si }x\le0\\[2pt]1-2x+x\ln x & \text{si }x>0\end{cases}$$ On désigne par $(C)$ la courbe représentative de $f$ dans le repère orthonormé $(O;\vec i,\vec j)$ du plan, d'unité graphique 2 cm.

1. 1Préciser l'ensemble de définition $D_f$ de $f$.
2. 2Étudier la continuité et la dérivabilité de $f$ en $x=0$.
3. 3Étudier les variations de $f$. On dressera le tableau de variation de $f$.
4. 4Pour $x\le0$, déterminer les coordonnées du point d'intersection de la courbe $(C)$ avec l'axe des abscisses et écrire une équation cartésienne de la tangente $(T)$ à $(C)$ en ce point.
5. 5Démontrer que l'équation $f(x)=0$ admet une solution unique $\alpha\in\,]6\,;7[$. On ne demande pas de calculer $\alpha$.
6. 6a. Étudier les branches infinies de $(C)$.
7. b. Tracer la courbe $(C)$ de $f$ et la droite $(T)$.

Soit $h$ la fonction numérique de la variable réelle $x$ définie par : $\forall x\in\mathbb R,\ h(x)=-f(x)$.

1. 1a. Dresser le tableau de variation de $h$.
2. b. Tracer la courbe $(C')$ représentative de $h$ dans le même repère que $(C)$ de $f$.
3. c. Calculer, en cm², l'aire $A$ du domaine $(D)$ limité par les courbes $(C)$, $(C')$ et les droites d'équations $x=-1$ et $x=0$.

Les caractères $X$ et $Y$ sont distribués suivant le tableau à double entrée :

1. 1Dresser la loi marginale de $X$ et celle de $Y$.
2. 2Trouver les coordonnées du point moyen $G(\bar X;\bar Y)$.
3. 3Déterminer l'équation de la droite de régression de $Y$ en $X$.
4. 4Calculer le coefficient de corrélation linéaire de la série statistique.

Le plan $(P)$ est rapporté à un repère orthonormé $(O;\vec u,\vec v)$.

1. 1Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes l'équation $(E): Z^3+8=0$. On donnera les solutions de $(E)$ sous forme algébrique.

Soit $A$, $B$, $C$ les points d'affixes $z_A=1+i\sqrt3$, $z_B=-2$, $z_C=1-i\sqrt3$.

2. 2a. Calculer le module et un argument de $U$ tel que $U=\dfrac{z_C-z_A}{z_B-z_A}$.
3. b. En déduire la nature du triangle $ABC$.

Soit $S$ la rotation définie dans $(P)$ telle que $S(A)=C$ et $S(C)=B$.

3. 3a. Déterminer l'expression complexe de $S$.
4. b. Déterminer les éléments caractéristiques de $S$.

Soit $g$ la fonction numérique de la variable réelle $x$ définie sur $]0;+\infty[$ par : $g(x)=1-x^2-\ln x$.

1. 1Étudier les variations de $g$, puis dresser son tableau de variation.
2. 2Calculer $g(1)$, puis en déduire le signe de $g$ sur $]0;+\infty[$.

On considère la fonction numérique $f$ de la variable réelle $x$ définie par : $$f(x)=\begin{cases}1+x-e^{1-x} & \text{si }x\le1\\[2pt]\dfrac{2x-x^2+\ln x}{x} & \text{si }x>1\end{cases}$$ On désigne par $(C)$ la courbe représentative de $f$ dans le repère orthonormé $(O;\vec i,\vec j)$ du plan, d'unité graphique 2 cm.

1. 1Déterminer l'ensemble de définition de la fonction $f$.
2. 2a. Étudier la continuité et la dérivabilité de $f$ au point $x=1$.
3. b. Pour $x\in\,]1;+\infty[$, exprimer $f'(x)$ en fonction de $g(x)$.
4. 3Étudier les variations de $f$ et dresser son tableau de variation.
5. 4Démontrer que la droite $(\Delta)$ d'équation $y=2-x$ est asymptote à la courbe $(C)$ de la fonction $f$ et étudier la position de la droite $(\Delta)$ par rapport à cette courbe.
6. 5Écrire l'équation de la tangente $(T)$ à la courbe $(C)$ de $f$ en $x=0$.
7. 6Étudier les branches infinies de la courbe $(C)$ de la fonction $f$.
8. 7Construire dans le même repère la courbe $(C)$ de $f$, la droite $(\Delta)$ et la tangente $(T)$.
9. 8Calculer l'aire $\mathcal A(D)$ du domaine du plan limité par la courbe $(C)$, la droite $(\Delta)$ et les droites $x=\dfrac32$ et $x=e$. On prendra $\ln2\approx0{,}7$ et $e\approx2{,}7$.

1. 1Qu'appelle-t-on conjugué d'un nombre complexe ?
2. 2a. Résoudre dans l'ensemble $\mathbb{C}$ des nombres complexes l'équation $(E) : Z^3 = 1$. On donnera les résultats sous forme algébrique.
3. b. Montrer que les solutions non réelles de $(E)$ sont conjuguées entre elles.
4. 3Montrer que $Z_1 = -1-i\sqrt3$ est solution de l'équation $(E') : Z^3 = 8$.
5. 4Soit $z_0'$, $z_1'$, $z_2'$ les solutions de $(E')$ où $z_1'$ et $z_2'$ sont deux complexes conjugués.
6. a. Utiliser les solutions de $(E)$ pour déduire les solutions de l'équation $(E')$.
7. b. Montrer que $\dfrac{z_1'}{z_2'}$ est solution de $(E)$.

1. 1Soit $f$ l'endomorphisme de $\mathbb{R}^3$ associant à tout $(x,y,z)$ l'élément $(x',y',z')$ tel que $x'=y+z$, $y'=x+y+z$, $z'=x$. Déterminer $f(i)$, $f(j)$, $f(k)$ dans la base $(i,j,k)$ de $\mathbb{R}^3$.
2. 2En déduire la matrice de $f$ dans la base $(i,j,k)$.
3. 3a. Quelles conditions faut-il remplir pour qu'un ensemble $E$ soit un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}^3$ ?
4. b. Montrer que l'ensemble $H=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid x-y+z=0\}$ est un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}^3$.
5. 4Déterminer le noyau de $f$ et en donner une base $(e_1)$.
6. 5Déterminer l'image de $f$, puis une base $B=(e_2,e_3)$.

1. 1Dans un plan muni d'un repère orthonormé $(O,OI,OJ)$, on considère $g(x) = \dfrac{e^x}{e^x+1} - x$. Préciser l'ensemble de définition de $g$.
2. 2Déterminer $g'(x)$ puis en déduire son signe.
3. 3Dresser le tableau de variation de $g$.
4. 4Démontrer que l'équation $\dfrac{e^x}{e^x+1}=x$ admet une solution unique $\alpha \in \mathbb{R}$.
5. 5Soit $h$ la fonction définie par $h(x)=\dfrac{e^x}{e^x+1}$ et $(C)$ sa courbe représentative (unité graphique 2 cm).
6. a. Montrer que pour tout $x\in\mathbb{R}$, $h'(x)>0$.
7. b. Dresser le tableau de variation de $h$.
8. c. En déduire que pour tout $x\in\mathbb{R}$, $0\le h(x)\le 1$.
9. 6On définit la suite $(u_n)$ par $u_0=0$, $u_{n+1}=h(u_n)$.
10. a. Démontrer par récurrence que $(u_n)$ est majorée par 1.
11. b. Démontrer par récurrence que $(u_n)$ est croissante.
12. c. En déduire la convergence de $(u_n)$, puis montrer que $\lim_{n\to+\infty} u_n = \alpha$.

1. 1Déterminer les séries marginales de $x$ et de $y$.
2. 2Déterminer le réel $a$ pour que l'on ait $G\left(\dfrac16, 2\right)$ où $G$ désigne le point moyen de la série $(x,y)$.
3. 3On donne $a=1$. Calculer la variance de $x$, la variance de $y$ et la covariance de la série $(x,y)$.

1. 1Déterminer les racines carrées du nombre complexe $u = 6+6i\sqrt3$.
2. 2Soit l'équation $(E)$ définie dans $\mathbb{C}$ par $(E) : 4Z^3-6i\sqrt3\,Z^2-(9+3i\sqrt3)Z-4=0$.
3. a. Vérifier que $Z_0=-\dfrac12$ est solution de l'équation $(E)$.
4. b. Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation $(E)$.
5. 3Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct $(O,\vec u,\vec v)$. On donne les points $A$, $B$, $C$ d'affixes respectives $Z_A=-\dfrac12$, $Z_B=-\dfrac12+\dfrac{\sqrt3}{2}i$, $Z_C=1+i\sqrt3$.
6. a. Déterminer l'écriture complexe de la similitude plane directe $S$ qui transforme $A$ en $B$ et $B$ en $C$.
7. b. Déterminer les éléments caractéristiques de la similitude $S$.

1. 1Soit $E$ le plan vectoriel rapporté à sa base canonique $(i,j)$. On donne $e_1=i+j$ et $e_2=2i+3j$. Vérifier que $(e_1,e_2)$ est une base de $E$.
2. 2On considère l'endomorphisme $f$ de $E$ tel que $f(e_1)=e_1$ et $f(e_2)=\vec0$. Écrire la matrice de $f$ dans la base $(e_1,e_2)$.
3. 3Soit $u'=x'i+y'j$ l'image de $u=xi+yj$ par $f$, telle que $f(u)=u'$.
4. a. Montrer que $f(i)=3i+3j$ et $f(j)=-2i-2j$.
5. b. Exprimer les coordonnées $x'$ et $y'$ de $u'$ en fonction de $x$ et $y$.
6. c. Calculer $f\circ f(u)$.
7. d. En déduire la nature de $f$.
8. e. Déterminer les caractéristiques de $f$.

1. 1On considère $f(x) = \dfrac{1}{x\ln x}$, de courbe représentative $(C)$ dans le repère orthonormé $(O,i,j)$. Montrer que $f$ est définie sur $]0;1[\cup]1;+\infty[$.
2. 2Vérifier que $f'(x) = -\dfrac{1+\ln x}{(x\ln x)^2}$.
3. 3a. Étudier le signe de $f'$.
4. b. Dresser le tableau de variation de $f$.
5. c. Étudier les branches infinies de $(C)$.
6. d. Tracer $(C)$.
7. 4a. Montrer que $f(x) = \dfrac{1/x}{\ln x}$.
8. b. Calculer l'intégrale $I = \displaystyle\int_{e}^{3} f(x)\,dx$.
9. c. En déduire l'aire $A$ du domaine limité par $(C)$, l'axe $(Ox)$ et les droites $x=e$ et $x=3$ (unité graphique 2 cm).

Dans le plan complexe $\mathbb{C}$ muni d'un repère orthonormal $(O,\vec{u},\vec{v})$, on considère l'application $S$ définie par : $z' = (1+i)z$.

1. 1Déterminer la nature, le rapport et l'angle de l'application $S$.
2. 2Soit le point $A$ d'affixe $z_A = 2i$. Déterminer les affixes des points $B$ et $C$ définis par $S(A) = B$ et $S(B) = C$.
3. 3Placer les points $A$, $B$ et $C$ dans un repère du plan.
4. 4Soit $I$ le milieu du segment $[OC]$. Montrer que le triangle $ABI$ est rectangle et isocèle en $B$.
5. 5Écrire une équation de degré 3 dont les affixes $z_A$, $z_B$ et $z_C$ définies ci-dessus sont solutions.

L'espace vectoriel $\mathbb{R}^2$ est rapporté à sa base canonique $\mathcal{B}=(\vec{i},\vec{j})$. Soit $f$ l'endomorphisme de $\mathbb{R}^2$ défini dans la base $(\vec{i},\vec{j})$ par : $f(\vec{j}) = 3\vec{i}-2\vec{j}$ et $f\circ f(\vec{j}) = \vec{j}$.

1. 1Calculer $f(\vec{i})$ et $f\circ f(\vec{i})$.
2. 2En déduire la nature de l'application $f$.
3. a. Qu'est-ce qu'un automorphisme ?
4. b. Prouver que $f$ est un automorphisme involutif.
5. c. Caractériser l'application $f$.
6. 4Soit les vecteurs $\vec{u} = 2\vec{i}-\vec{j}$ et $\vec{v} = -3\vec{i}+\vec{j}$.
7. a. Montrer que $\mathcal{B}' = (\vec{u},\vec{v})$ est une base de $\mathbb{R}^2$.
8. b. Écrire la matrice de $f$ dans la base $\mathcal{B}'$.

Dans le plan rapporté à un repère orthonormal $(O,\vec{i},\vec{j})$ d'unité graphique 1 cm, on considère la fonction $f$ de la variable réelle $x$ définie sur $\mathbb{R}_+^*$ par $f(x) = \dfrac{e^x}{e^x-1}$. On note $(C)$ la courbe de $f$ dans le plan.

1. 1Calculer les limites de $f$ en $0$ à droite et en $+\infty$.
2. 2En déduire que $f$ admet deux asymptotes que l'on précisera.
3. a. Montrer que pour tout $x \in \mathbb{R}_+^*$, $f'(x) = \dfrac{-e^x}{(e^x-1)^2}$.
4. b. Donner le sens de variation de $f$.
5. c. Dresser son tableau de variation.
6. 4Tracer la courbe $(C)$ ainsi que ses asymptotes.
7. 5Soit $g$ la fonction définie sur $\mathbb{R}_+^*$ par $g(x) = -f(x)$. Construire la courbe $(C')$ de $g$ dans le même repère que $(C)$.
8. 6Calculer l'aire $\mathcal{A}$ de la portion du plan délimitée par les courbes $(C)$ et $(C')$, et les droites d'équations $x=1$ et $x=2$.

Soit le tableau statistique à double entrée suivant, $m$ et $n$ étant des entiers naturels :

1. 1Déterminer les lois marginales de $X$ et de $Y$ en fonction de $n$ et $m$.
2. 2Déterminer $m$ et $n$ sachant que le point moyen du nuage statistique est $G(1\,;1)$.
3. 3On pose $m=1$ et $n=1$.
4. a. Déterminer l'équation de la droite de régression linéaire de $Y$ en $X$ sachant que $\text{Cov}(X,Y) = -\dfrac{1}{12}$, $V(X) = \dfrac{1}{2}$ et $V(Y) = \dfrac{1}{6}$.
5. b. Calculer le coefficient de corrélation linéaire entre $X$ et $Y$.

Le plan complexe est muni du repère orthonormé $(O,\vec{u},\vec{v})$ avec $\|\vec{u}\|=\|\vec{v}\|=2$ cm. On considère le polynôme $P$ défini par $P(Z) = Z^3+Z^2-2$.

1. 1 
2. a. Montrer que $1$ est une racine de $P(Z)$.
3. b. Vérifier que $P(Z)$ peut s'écrire sous la forme $P(Z) = (Z-1)(Z^2+2Z+2)$.
4. c. Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation $P(Z)=0$.
5. 2On considère les points $A$, $B$ et $C$ d'affixes respectives $z_A=1$ ; $z_B=-1+i$ ; $z_C=-1-i$.
6. a. Construire le triangle $ABC$.
7. b. Déterminer l'affixe $z_D$ du point $D$ tel que $ABCD$ soit un parallélogramme.
8. 3Soit $R$ la rotation de centre $A$ et d'angle de mesure $\dfrac{\pi}{3}$.
9. a. Montrer que l'expression complexe de $R$ est $Z' = \left(\dfrac{1}{2}+i\dfrac{\sqrt3}{2}\right)Z + \dfrac{1}{2}-i\dfrac{\sqrt3}{2}$.
10. b. Soit $M$ et $M'$ les points d'affixes respectives $Z=x+iy$ et $Z'=x'+iy'$. Exprimer $x'$ et $y'$ en fonction de $x$ et $y$.

Soit $(\vec{i},\vec{j})$ une base du plan vectoriel $E$. $f$ désigne l'endomorphisme de $E$ tel que $5f(\vec{i}) = a\vec{i}+4\vec{j}$ et $f(\vec{j}) = \dfrac{4}{5}\vec{i}-\dfrac{3}{5}\vec{j}$.

1. 1Déterminer la matrice de $f$ dans la base $(\vec{i},\vec{j})$.
2. 2Déterminer l'expression analytique de $f$.
3. 3Déterminer le réel $a$ pour que $f$ soit une symétrie vectorielle.
4. 4On pose $a=3$.
5. a. Déterminer les éléments caractéristiques de $f$ (base et direction).
6. b. Déterminer un vecteur directeur $\vec{e_1}$ de la base.
7. c. Déterminer un vecteur directeur $\vec{e_2}$ de la direction.
8. d. Soit $\vec{e_1}=2\vec{i}+\vec{j}$ et $\vec{e_2}=-\vec{i}+2\vec{j}$. Démontrer que $(\vec{e_1},\vec{e_2})$ est une base de $\mathbb{R}^2$.
9. e. Donner la matrice de $f$ relativement à la base $(\vec{e_1},\vec{e_2})$.

Partie A

On considère la fonction $g$ définie sur $]0;+\infty[$ par $g(x) = -\dfrac{1}{x}+\ln x$.

1. 1Calculer les limites de $g$ en $0^+$ et en $+\infty$.
2. a. Calculer la dérivée $g'$ de $g$ sur $]0;+\infty[$.
3. b. Dresser le tableau de variation de $g$.
4. a. Montrer que l'équation $g(x)=0$ admet une solution unique $\alpha \in \left]\dfrac{3}{2};2\right[$.
5. b. En déduire le signe de $g(x)$ sur $]0;+\infty[$.

Partie B

On considère la fonction $f$ définie sur $]0;+\infty[$ par $f(x) = x-(x-1)\ln x$. On désigne par $(C)$ sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthonormé $(O,\vec{i},\vec{j})$.

1. 1Calculer les limites de $f$ en $0^+$ et en $+\infty$.
2. a. Montrer que la dérivée $f'$ de $f$ est $f'(x) = -g(x)$.
3. b. Dresser le tableau de variation de $f$. On prendra $\alpha \approx 1{,}7$ et $f(\alpha) \approx 1{,}3$.
4. 3On admet que l'équation $f(x)=0$ admet deux solutions $x_0$ et $x_1$ avec $x_0\in\left]\dfrac12;1\right[$ et $x_1\in\left]\dfrac72;4\right[$.
5. a. Étudier les branches infinies de $(C)$.
6. b. Tracer la courbe $(C)$.
7. 4Tracer la courbe $(C')$ de la fonction $h$ définie par $h(x)=-f(x)$ dans le même repère que $(C)$.

Soit $F$ la fonction de répartition d'une variable aléatoire $X$, définie par le tableau suivant :

1. 1Donner les valeurs exactes prises par $X$.
2. 2Établir la loi de probabilité de $X$.
3. 3Calculer l'espérance mathématique $E(X)$.

Le plan complexe $\mathbb{C}$ est rapporté au repère orthonormé direct $(O,\vec u,\vec v)$. On considère les points $A$, $B$, $C$ et $D$ d'affixes respectives $Z_A=1+2i$, $Z_B=-1+2i$, $Z_C=1-i$, $Z_D=1$.

1. 1a. Déterminer l'affixe $Z_{\overrightarrow{BC}}$ du vecteur $\overrightarrow{BC}$.
2. b. Déterminer l'expression analytique de la translation $t$ de vecteur $\overrightarrow{BC}$.
3. c. Trouver l'affixe du point $A'$, image de $A$ par la translation $t$.
4. 2a. Prouver qu'une mesure, en radian, de l'angle $(\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AB})$ est $-\dfrac{\pi}{2}$.
5. b. Écrire l'expression analytique de la rotation $R$ de centre $A$ et d'angle $-\dfrac{\pi}{2}$.
6. c. Trouver l'affixe du point $C'$, image de $C$ par la rotation $R$.
7. 3Déterminer le rapport et l'angle de la similitude plane directe $S$ de centre $A$ qui transforme $B$ en $A$.

Soit $E$ un plan vectoriel rapporté à sa base canonique $(\vec i,\vec j)$. On considère les droites vectorielles $(D_1)$ et $(D_2)$ de $E$, d'équations cartésiennes respectives $x-2y=0$ et $x+y=0$.

1. 1Vérifier que $(D_1)$ et $(D_2)$ sont engendrées respectivement par les vecteurs $\vec e_1=2\vec i+\vec j$ et $\vec e_2=-\vec i+\vec j$.
2. 2Prouver que la famille $(\vec e_1,\vec e_2)$ est une base de $E$.
3. 3Montrer que les sous-espaces vectoriels $(D_1)$ et $(D_2)$ sont supplémentaires dans $E$.
4. 4Soit $f$ l'endomorphisme de $E$ défini par $f(\vec e_1)=\vec e_1$ et $f(\vec e_2)=-\vec e_2$. Exprimer les vecteurs $f(\vec i)$ et $f(\vec j)$ dans la base $(\vec i,\vec j)$.

Soit $f$ la fonction numérique de la variable réelle $x$ définie par :

$$f(x)=\begin{cases}\dfrac{\ln x}{\ln x-1} & \text{si } x>0\\[4pt] e^{-2x} & \text{si } x\leq 0\end{cases}$$

On désigne par $(C)$ la courbe représentative de $f$ dans le repère orthonormé $(O,\vec i,\vec j)$, unité graphique : 2 cm.

1. 1Déterminer l'ensemble de définition $D_f$ de $f$.
2. 2Vérifier que $f$ est continue en $x=0$.
3. 3Étudier la dérivabilité de $f$ en $x=0$.
4. 4a. Déterminer la fonction dérivée $f'$ de $f$.
5. b. Dresser le tableau de variation de $f$.
6. 5a. Préciser les branches infinies de la courbe $(C)$.
7. b. Tracer $(C)$.
8. 6Calculer l'aire $\mathcal{A}$ du domaine limité par $(C)$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=-1$ et $x=0$.

Le tableau ci-dessous donne le couple $(x,y)$ de deux caractères d'une série statistique : $x$ est le nombre de jours et $y$ le poids en mg d'une larve.

1. 1Calculer les coordonnées $\bar x$ et $\bar y$ du point moyen $G$.
2. 2Déterminer l'équation de la droite de régression linéaire de $y$ en $x$.
3. 3Estimer le poids de la larve au $7^{\text{ème}}$ jour.

1. 1a. Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation $(E)$ : $Z^2-4Z+8=0$.
2. b. Écrire la solution dont la partie imaginaire est négative sous forme trigonométrique.
3. 2Dans le plan muni du repère orthonormé direct $(O,\vec u,\vec v)$, on considère les points $A$ et $B$ d'affixes respectives $Z_A=2-2i$ et $Z_B=2+2i$. a. Écrire sous forme algébrique le complexe $U=\dfrac{Z_B}{Z_A}$.
4. b. En déduire la nature du triangle $OAB$.
5. 3On considère l'application $f$ du plan $\mathcal{P}$ dans lui-même qui, à tout point $M$ d'affixe $Z$, associe le point $M'$ d'affixe $Z'$ tel que $Z'=e^{i\pi/3}Z$. a. Préciser la nature de $f$.
6. b. Écrire sous forme trigonométrique puis algébrique l'affixe $Z_{A'}$ du point $A'=f(A)$.
7. c. En déduire les valeurs exactes de $\cos\dfrac{\pi}{12}$ et $\sin\dfrac{\pi}{12}$.

L'espace vectoriel $E$ est rapporté à sa base canonique $(\vec i,\vec j)$. Soit $f$ l'endomorphisme de $E$ défini, pour tout vecteur $\vec u(x,y)$, par l'image $\vec u'(x',y')$ telle que : $x'=2x+3y$ ; $y'=-x-2y$.

1. 1Déterminer $f(\vec i)$ et $f(\vec j)$.
2. 2En déduire la matrice de $f$ dans la base $(\vec i,\vec j)$.
3. 3Soit $\vec V(3;-4)$ un vecteur de $E$. Donner son image $\vec V'$ par $f$.
4. 4Montrer que $f$ est un endomorphisme bijectif.
5. 5a. Calculer $f\circ f(\vec i)$ et $f\circ f(\vec j)$.
6. b. En déduire la nature de $f$.
7. c. Déterminer alors la base et la direction de $f$.

Soit $g$ la fonction numérique définie sur $\mathbb{R}_+^*$ par $g(x)=\dfrac1x$, de courbe représentative $(C')$ dans le repère orthonormé direct $(O,\vec i,\vec j)$, unité graphique 2 cm.

1. 1Calculer $g'(x)$ et donner son signe sur $\mathbb{R}_+^*$.
2. 2Sachant que $\displaystyle\lim_{x\to0^+}g(x)=+\infty$ et $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}g(x)=0$, dresser le tableau de variation de $g$.

Dans le même repère, on considère la courbe $(C)$ de la fonction $f$ définie sur $]0;+\infty[$ par $f(x)=\dfrac{\ln x}{x}+\dfrac1x$.

1. 1a. Résoudre dans $\mathbb{R}_+^*$ l'équation $f(x)=g(x)$.
2. b. En déduire la position relative de $(C)$ et $(C')$.
3. 2a. Calculer $\displaystyle\lim_{x\to0^+}f(x)$ et $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)$.
4. b. Montrer que $f'(x)=-\dfrac{\ln x}{x^2}$ sur $\mathbb{R}_+^*$ et étudier son signe.
5. c. Établir le tableau de variation de $f$.
6. 3Sachant que les axes de coordonnées sont asymptotes à $(C)$ et $(C')$, tracer soigneusement ces deux courbes.

On note $h$ et $k$ les fonctions définies sur $\mathbb{R}_+^*$ par $h(x)=\dfrac12(\ln x)^2$ et $k(x)=f(x)-g(x)$.

1. 1Démontrer que $h$ est une primitive de $k$ sur $\mathbb{R}_+^*$.
2. 2Calculer, en cm², l'aire $\mathcal{A}$ de la portion du plan comprise entre $(C)$, $(C')$ et les droites $x=1$ et $x=e$.

Soit $X$ une variable aléatoire dont la loi de probabilité est donnée par le tableau :

1. 1Calculer l'espérance mathématique $E(X)$ en fonction de $a$ et $b$.
2. 2a. Déterminer les réels $a$ et $b$ tels que $E(X)=\dfrac32$.
3. b. Calculer la variance $V(X)$ et l'écart-type $\sigma(X)$.
4. 3Donner la fonction de répartition $F$ de $X$.

1. 1Trouver dans l'ensemble $\mathbb{C}$ des nombres complexes les nombres $z_1$, $z_2$ et $z_3$ tels que : $z_1+z_2=-3+i$ ; $i\,\overline{z_2}=1-2i$ ; $z_2\times z_3=-1-2i$.
2. 2On considère le polynôme complexe $P$ tel que $P(z)=z^3+(3-2i)z^2+(1-4i)z-1-2i$.
3. a. Vérifier que $z=i$ est une racine de $P(z)$.
4. b. Trouver le nombre complexe $z_0$ tel que $P(z)=(z-i)(z-z_0)(z+2-i)$.
5. c. Donner l'ensemble des solutions de l'équation $P(z)=0$.
6. 3Dans le plan complexe, on désigne par A, B et C les points d'affixes respectifs $z_A=-1$, $z_B=-2+i$, $z_C=i$.
7. a. Donner l'écriture complexe de la rotation $R$ de centre A qui transforme B en C.
8. b. En déduire l'angle de la rotation $R$.

1. 1Soit $\mathcal{B}=(i,j)$ la base canonique de $\mathbb{R}^2$. On considère les vecteurs $u=i+j$ et $v=-i+2j$.
2. a. Prouver que la famille $\mathcal{B}'=(u,v)$ est une base de $\mathbb{R}^2$.
3. b. Écrire les vecteurs $i$ et $j$ dans la base $\mathcal{B}'$.
4. 2On considère l'endomorphisme $f$ de $\mathbb{R}^2$ défini par $f(u)=u$ et $f(v)=-v$.
5. a. Calculer $f(i)$ et $f(j)$ en fonction de $i$ et $j$.
6. b. Montrer que $f\circ f(i)=i$ et $f\circ f(j)=j$.
7. c. En déduire la nature de $f$.
8. d. Donner alors la base $E$ et la direction $D$ de $f$.

Partie A

1. 1Soit $h$ la fonction dérivable sur $\mathbb{R}$ définie par $h(x)=(1-x)e^{2-x}+1$.
2. a. Pour tout réel $x$, calculer $h'(x)$.
3. b. En déduire le signe de $h'(x)$ sur $\mathbb{R}$.
4. c. On admet que $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}h(x)=1$ et $\displaystyle\lim_{x\to-\infty}h(x)=+\infty$. Dresser le tableau de variation de $h$ sur $\mathbb{R}$.
5. 2En utilisant les questions précédentes, déduire le signe de $h(x)$ sur $\mathbb{R}$.

Partie B

1. 1On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x(1+e^{2-x})$. On note $(C)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O,i,j)$ (unité graphique : 1 cm). Calculer $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)$.
2. 2
3. a. Montrer que pour tout $x\in\mathbb{R}$, $f'(x)=h(x)$.
4. b. Dresser le tableau de variation de $f$ sur $\mathbb{R}$ sachant que $\displaystyle\lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty$.
5. 3
6. a. Montrer que $f$ admet une bijection réciproque $f^{-1}$ définie sur $\mathbb{R}$.
7. b. Dresser le tableau de variation de $f^{-1}$.
8. 4
9. a. Préciser la nature de la branche infinie de $(C)$ au voisinage de $-\infty$.
10. b. Montrer que la droite $(\Delta)$ d'équation $y=x$ est asymptote à $(C)$ au voisinage de $+\infty$.
11. c. Étudier la position de $(C)$ par rapport à $(\Delta)$.
12. 5Construire $(\Delta)$, la courbe $(C)$ et la courbe $(C')$ de $f^{-1}$ dans le repère $(O,i,j)$.

1. Une entreprise fabrique des pièces pour un client. Le contrat stipule que le produit fabriqué doit être soumis à deux tests distincts de normes de qualité A et B. La pièce est acceptée si elle satisfait ces deux tests, indépendants l'un de l'autre. On note A l'événement « le produit est conforme à la norme A » et B l'événement « le produit est conforme à la norme B », avec $P(A)=0{,}9$ et $P(B)=0{,}95$.
2. 1Calculer $P(A\cap B)$.
3. 2Soit C l'événement « le produit n'est pas accepté par le client ». Montrer que $P(C)=0{,}145$.
4. 3On suppose que le client accepte le produit s'il satisfait au test A ou au test B ($A\cup B$). Calculer $P(A\cup B)$.

1. 1On considère dans l'ensemble $\mathbb{C}$ des nombres complexes l'équation $(E):z^3+8i=0$, d'inconnue $z$.
2. a. Vérifier que le nombre $a=2i$ est solution de $(E)$.
3. b. Prouver que l'équation $(E)$ peut s'écrire $(z-2i)(z^2+2iz-4)=0$.
4. c. Achever la résolution de l'équation.
5. 2Dans un plan complexe muni d'un repère orthonormal direct $(O,i,j)$, on considère les points A, B et C d'affixes respectives $2i$, $-\sqrt3-i$ et $\sqrt3-i$.
6. a. Calculer le module et un argument du complexe $U=\dfrac{z_C-z_A}{z_B-z_A}$.
7. b. En déduire la nature du triangle ABC.
8. 3On note I le point d'affixe $-i$ et $S$ la similitude plane directe de centre A qui transforme C en I.
9. a. Donner l'écriture complexe de $S$.
10. b. Déterminer l'angle et le rapport de $S$.

1. 1L'espace vectoriel étant rapporté à la base canonique $(i,j)$, on considère l'endomorphisme $f$ de $\mathbb{R}^2$ défini par $f(v_1)=0$ et $f(v_2)=v_2$, avec $v_1=-i+5j$ et $v_2=-2i+5j$.
2. a. Montrer que $f(i)=2i-5j$ et $f(j)=\dfrac25i-j$.
3. b. En déduire la matrice de $f$ dans la base $(i,j)$.
4. 2Prouver que $f$ n'est pas bijective.
5. 3Soit $u'=x'i+y'j$ l'image du vecteur $u=xi+yj$ par $f$.
6. a. Exprimer les coordonnées $x'$ et $y'$ de $u'$ en fonction de $x$ et $y$.
7. b. Montrer que $f\circ f(i)=f(i)$ et $f\circ f(j)=f(j)$.
8. c. En déduire la nature de $f$.
9. d. Donner les éléments caractéristiques de $f$.

$f$ est la fonction définie sur $]0;+\infty[$ par $f(x)=(\ln x)^2$. $(C)$ est sa courbe représentative dans le repère orthonormé $(O,i,j)$ (unité graphique : 2 cm).

Partie A

1. 1Montrer que $f'(x)=\dfrac{2\ln x}{x}$.
2. 2Étudier le signe de $f'(x)$.
3. 3Montrer que $\displaystyle\lim_{x\to0^+}f(x)=+\infty$ et $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty$.
4. 4Dresser le tableau de variation de $f$.
5. 5Montrer que $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}{x}=0$, puis interpréter graphiquement.
6. 6Construire $(C)$.

Partie B

1. 1Soit $g$ la fonction définie sur $]0;+\infty[$ par $g(x)=-f(x)$ et $(C')$ sa courbe représentative dans le repère $(O,i,j)$. Comment peut-on déduire $(C')$ de $(C)$ ?
2. 2Sans étudier $g$, dresser son tableau de variation.
3. 3Construire $(C')$ dans le même repère que $(C)$.

Partie C

1. 1On désigne par $H$ la fonction définie par $H(x)=x(\ln x)^2-2x\ln x+2x$. Montrer que $H$ est une primitive de $f$ sur $]0;+\infty[$.
2. 2Calculer, en cm², l'aire de la portion du plan délimitée par les courbes $(C)$ et $(C')$ et les droites d'équations $x=1$ et $x=e$.

1. Une entreprise a mis au point un nouveau produit et cherche à fixer son prix de vente. Une enquête est réalisée auprès des clients potentiels. $X$ représente le nombre d'exemplaires souhaités et $Y$ le prix de vente (en milliers de francs CFA) :

1. 1Déterminer les séries marginales respectives de $X$ et de $Y$.
2. 2Déterminer les variances de $X$ et de $Y$, sachant que le point moyen $G$ est $G(1{,}93\ ;\ 2{,}3)$.
3. 3On donne $\mathrm{cov}(X,Y)=0{,}44$. Déterminer, par la méthode des moindres carrés, l'équation de la droite de régression $(D)$ de $Y$ en fonction de $X$.
4. 4Calculer le coefficient de corrélation linéaire.