Ch. 07 Derivation — 1ère D Mathématiques — Bibliothèque Numérique by Edutech Congo

1. Nombre derive et fonction derivee

Definition

f'(a) = lim[h→0] [f(a+h)-f(a)]/h (si cette limite existe).

Interpretation : pente de la tangente a la courbe au point (a, f(a)).

Equation de la tangente en x=a : y = f'(a)(x-a)+f(a).

f derivable en a => f continue en a (reciproque fausse).

2. Derivees des fonctions usuelles

f(x)f'(x)Domaine constante0R xⁿ (n∈Z)nxⁿ⁻¹R ou R* racine(x)1/(2racine(x))]0;+∞[ 1/x-1/x²R* sin xcos xR cos x-sin xR tan x1/cos²xR\{pi/2+kpi}

3. Regles de derivation

Operations

(u+v)'=u'+v' • (ku)'=ku' • (uv)'=u'v+uv'

(u/v)'=(u'v-uv')/v² • (g∘f)'=f'×(g'∘f) (regle de la chaine)

Regle de la chaine - exemples

[sin(3x)]' = 3cos(3x) • [racine(x²+1)]' = x/racine(x²+1)

[(2x+1)⁵]' = 5(2x+1)⁴×2 = 10(2x+1)⁴

[cos²x]' = 2cosx×(-sinx) = -sin(2x)

4. Derivee et sens de variation

Theoreme

f'(x)>0 sur I => f strictement croissante sur I.

f'(x)<0 sur I => f strictement decroissante sur I.

f'(a)=0 et f' change de + a - en a => maximum local en a.

f'(a)=0 et f' change de - a + en a => minimum local en a.

f'(a)=0 sans changement de signe => point d inflexion.

Inegalites par la derivee

Si f'(x)>=0 sur [a;b] : f(a)<=f(x)<=f(b) pour x∈[a;b].

Theoreme des accroissements finis : si f derivable sur [a;b], il existe c∈]a;b[ tel que f(b)-f(a)=f'(c)(b-a).

A retenir

f'(a)=lim[h→0][f(a+h)-f(a)]/h ; tangente : y=f'(a)(x-a)+f(a)
(uv)'=u'v+uv' ; (u/v)'=(u'v-uv')/v² ; (g∘f)'=f'×(g'∘f)
(xⁿ)'=nxⁿ⁻¹ ; (sin x)'=cos x ; (cos x)'=-sin x ; (racine(x))'=1/(2racine(x))
f'>0 => croissante ; f'<0 => decroissante
Extremum local : f'=0 ET changement de signe de f'

Derivees usuelles et regles

● Facile

Calculer la derivee de : (a) f=4x³-3x²+7 (b) g=2cosx-sinx (c) h=1/(x²+1) (d) k=racine(2x+1).

Correction

(a) 12x²-6x. (b) -2sinx-cosx. (c) -2x/(x²+1)². (d) 1/racine(2x+1).

Regle de la chaine

● Moyen

f(x)=sin²(3x)
g(x)=racine(x²-2x+1)
h(x)=(x²+1)/(x-1)

Correction

f'=2sin(3x)×3cos(3x)=3sin(6x).
g=|x-1|. Pour x>1: g'=1. Pour x<1: g'=-1. (ou (2x-2)/(2racine(x²-2x+1))=(x-1)/|x-1|.)
(2x(x-1)-(x²+1))/(x-1)²=(x²-2x-1)/(x-1)².

Tangente et extremums

● Moyen

f(x)=x³-3x²+2.

Equat. de la tangente en x=0.
Trouver les extremums locaux.
Sur quel intervalle f est-elle concave (f''<0) ?

Correction

f(0)=2, f'=-3x²-6x. Attention: f'=3x²-6x. f'(0)=0. Tangente: y=2.
f'=3x(x-2)=0: x=0 (max local, f(0)=2) et x=2 (min local, f(2)=-2).
f''=6x-6=0 en x=1. f''<0 pour x<1: f concave sur ]-∞;1[.

Optimisation

● Moyen

Un rectangle de perimetre 20 cm. Trouver les dimensions maximisant l aire.

Correction

Soit l la largeur: L=10-l. A(l)=l(10-l)=10l-l². A'=10-2l=0 → l=5. Carre de cote 5. Aire max=25 cm².

Inegalites par la derivee

● Difficile

Montrer que sin x <= x pour tout x>=0. (Poser f(x)=x-sinx et etudier f'.)
Montrer que 1-x²/2 <= cos x <= 1 pour tout x∈R.

Correction

f(x)=x-sinx. f(0)=0. f'(x)=1-cosx>=0. Donc f croissante sur [0;+∞[. f(x)>=f(0)=0. Donc x-sinx>=0, i.e. sinx<=x.
g(x)=cosx-1+x²/2. g(0)=0. g'(x)=-sinx+x. Or x-sinx>=0 (q.1) donc g'>=0. g croissante. g(x)>=g(0)=0 pour x>=0. Donc cosx>=1-x²/2. Pour x<=0 : g est paire → meme conclusion. Aussi cosx<=1 toujours.

QCM

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Q1/10

(x⁵)' vaut :

Q2/10

(sin x)' vaut :

Q3/10

(u²)' par regle de la chaine vaut :

Q4/10

(u/v)' vaut :

Q5/10

Si f'(x)>0 sur ]a;b[, f est :

Q6/10

Equation tangente en x=a :

Q7/10

f'(a)=0, f' passe de + a - en a : f a en a :

Q8/10

(cos x)' vaut :

Q9/10

(racine(x))' vaut :

Q10/10

f(x)=x³-3x. f'(x)=0 en :