F est une primitive de f sur I si F'(x)=f(x) pour tout x∈I.
Toutes les primitives de f sur I sont F(x)+C (C constante).
Linearite : primitive de (alphaf+betag) = alphaF+betaG.
Regle de la chaine inversee : primitive de f'(u).u'(x) est f(u(x)).
En particulier : primitive de u'.uⁿ est uⁿ⁺¹/(n+1) (n≠-1).
Primitive de 2x.racine(x²+1) : u=x²+1, u'=2x, primitive de u'.racine(u)=2u^(3/2)/3=(2/3)(x²+1)^(3/2).
Primitive de cos(2x) : (1/2)sin(2x).
Primitive de (2x+1)⁴ : (2x+1)⁵/10.
Si f est continue sur [a;b] et F une primitive de f :
Integrale de a a b de f(x)dx = [F(x)] de a a b = F(b)-F(a)
Linearite : integrale(alpha.f+beta.g)=alpha.integrale(f)+beta.integrale(g).
Chasles : integrale de a a c = integrale de a a b + integrale de b a c.
integrale de a a a = 0 ; integrale de a a b = -integrale de b a a.
Si f>=0 sur [a;b] : integrale >= 0 (interprete comme une aire).
Aire entre f et l axe Ox sur [a;b] : integrale de a a b de |f(x)|dx.
Si f change de signe, decouper en sous-intervalles.
Aire entre f et g (f>=g) sur [a;b] : integrale de a a b de [f(x)-g(x)]dx.
Valeur moyenne de f sur [a;b] : m = (1/(b-a)) × integrale de a a b de f(x)dx.
Trouver une primitive de : (a) 3x²-4x+1 (b) 2cosx-sinx (c) 4x³+1/x² (d) (3x+1)³.
(a) x³-2x²+x. (b) 2sinx+cosx. (c) x⁴-1/x. (d) (3x+1)⁴/(12).
f(x)=x²-1. (1) Zeros de f. (2) Integrale de 0 a 2 de f dx par Chasles. (3) Aire entre f et Ox sur [0;2].
(1) x=±1. (2) [x³/3-x] de 0 a 1 + [x³/3-x] de 1 a 2 = (1/3-1)+((8/3-2)-(1/3-1))=-2/3+4/3=2/3. (3) Aire=|int de 0 a 1|+|int de 1 a 2|=2/3+|4/3-2/3|=2/3+2/3=4/3... Correct: int de 0 a 1 de (x²-1)dx=1/3-1=-2/3. int de 1 a 2=(8/3-2)-(1/3-1)=2/3+2/3=4/3. Aire=2/3+4/3=2.
f(x)=x² et g(x)=2x. (1) Points d intersection. (2) Aire du domaine delimite.
(1) x²=2x: x=0 et x=2. (2) Sur [0;2]: g>=f. Aire=integrale de 0 a 2 de (2x-x²)dx=[x²-x³/3] de 0 a 2=4-8/3=4/3.
10 questions · Correction immediate
Primitive de 4x³ vaut :
Integrale de 0 a 1 de x dx vaut :
Primitive de cos x vaut :
Integrale de a a a de f vaut :
Chasles : integrale de a a c :
Integrale de 0 a pi de cos x dx vaut :
Aire entre f=x² et g=x sur [0;1] :
Primitive de (2x+1)³ vaut :
Integrale de 1 a 2 de (3x²) dx vaut :
Valeur moyenne de f sur [a;b] :
