Vecteur u=(a;b;c). Norme : ||u||=racine(a²+b²+c²). Addition : u+v=(a+a';b+b';c+c'). Vecteur AB=(xB-xA ; yB-yA ; zB-zA).
u et v colineaires ssi v=k.u. A,B,C alignes ssi AB et AC colineaires.
u, v, w coplanaires ssi w=alpha.u+beta.v pour certains scalaires alpha, beta.
u.v = ||u||.||v||.cos(theta) = aa'+bb'+cc' (coordonnees orthonormees).
u.u=||u||². u perpendiculaire v ssi u.v=0.
Identites : ||u+v||²=||u||²+2u.v+||v||² ; ||u-v||²=||u||²-2u.v+||v||².
Droite ax+by+c=0 dans le plan : vecteur normal n=(a;b), directeur u=(-b;a).
Plan ax+by+cz+d=0 dans l espace : vecteur normal n=(a;b;c).
Distance de P(x0;y0) a la droite ax+by+c=0 : |ax0+by0+c|/racine(a²+b²).
Distance de P(x0;y0;z0) au plan ax+by+cz+d=0 : |ax0+by0+cz0+d|/racine(a²+b²+c²).
Un sous-espace vectoriel (SEV) de E est une partie F stable par addition et par multiplication scalaire.
Tout SEV contient le vecteur nul. Exemples dans R² : {0}, toute droite passant par O, R².
Une droite ne passant pas par O n est PAS un SEV.
A(1;2;-1), B(3;0;2), C(-1;4;1). (1) AB, AC, BC. (2) ||AB|| et ||AC||. (3) Milieu de [AB].
(1) AB=(2;-2;3), AC=(-2;2;2), BC=(-4;4;-1). (2) ||AB||=racine(17), ||AC||=2racine(3). (3) M=(2;1;1/2).
(1) A(0;0;0), B(1;0;1), C(0;1;1), D(2;1;3). Coplanaires ? (2) La droite d equation y=x+1 est-elle un SEV de R² ?
(1) AB=(1;0;1), AC=(0;1;1), AD=(2;1;3). AD=2.AB+1.AC ✅. Coplanaires. (2) Non : (0;0) n appartient pas a y=x+1 (0≠0+1). Pas de vecteur nul. Pas un SEV.
10 questions
u=(2;-1;3). ||u|| vaut :
u=(1;2;3) et v=(-2;-4;-6). Ils sont :
u.v avec u=(1;0;2), v=(3;-1;4) :
u perp v ssi :
Normal au plan 3x-y+2z=5 :
A(1;2;3), B(3;4;5), C(5;6;7) alignes ?
Un SEV contient toujours :
||u+v||² :
u=(1;1;0), v=(0;0;1). u.v :
Distance de P(1;1) a la droite 3x+4y-5=0 :
