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Ch. 01 Mathématiques · 1ère Commerciale (PBG)

Calculs algébriques

Objectif Général 1 — Algèbre. Développements, factorisations, identités remarquables de degré supérieur, fractions rationnelles.

1. Identités remarquables usuelles et de degré supérieur

Rappel — identités du second degré

Pour tous réels a et b :

• (a + b)² = a² + 2ab + b²

• (a − b)² = a² − 2ab + b²

• (a + b)(a − b) = a² − b²

Identités de degré 3

• (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

• (a − b)³ = a³ − 3a²b + 3ab² − b³

• a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²)

• a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²)

Exemples résolus

Développer (2x + 3)³ : avec a = 2x et b = 3,

(2x)³ + 3(2x)²(3) + 3(2x)(3)² + 3³ = 8x³ + 36x² + 54x + 27

Factoriser x³ − 8 : on reconnaît a³ − b³ avec a = x, b = 2, donc x³ − 8 = (x − 2)(x² + 2x + 4).

2. Développement et réduction d'expressions

Méthode

Développer une expression, c'est transformer un produit en une somme de termes, en appliquant la distributivité a(b + c) = ab + ac, puis en réduisant les termes semblables.

Exemple résolu

Développer et réduire E = (3x − 2)(x + 5) − (x − 1)² :

(3x − 2)(x + 5) = 3x² + 15x − 2x − 10 = 3x² + 13x − 10 (x − 1)² = x² − 2x + 1 E = 3x² + 13x − 10 − (x² − 2x + 1) = 3x² + 13x − 10 − x² + 2x − 1 = 2x² + 15x − 11

3. Techniques de factorisation

Trois techniques principales

1) Facteur commun : mettre en évidence le terme qui apparaît dans chaque partie de la somme.

2) Identité remarquable : reconnaître une des formes a²±2ab+b², a²−b², a³±b³.

3) Groupement : regrouper les termes deux à deux pour faire apparaître un facteur commun.

Exemples résolus

Factoriser F = 3x² − 12x : facteur commun 3x, donc F = 3x(x − 4).

Factoriser G = 9x² − 25 : identité a²−b² avec a=3x, b=5, donc G = (3x − 5)(3x + 5).

Factoriser H = ax + ay + bx + by (groupement) :

H = a(x + y) + b(x + y) = (x + y)(a + b)

4. Fractions rationnelles : simplification et opérations

Définition

Une fraction rationnelle est le quotient N(x)/D(x) de deux polynômes, définie pour les valeurs de x qui n'annulent pas D(x).

Méthode de simplification

On factorise le numérateur et le dénominateur, puis on simplifie les facteurs communs (à condition qu'ils ne s'annulent pas).

Exemple résolu

Simplifier (x² − 4)/(x² + 4x + 4), pour x ≠ −2 :

x² − 4 = (x−2)(x+2) x² + 4x + 4 = (x+2)² (x²−4)/(x²+4x+4) = (x−2)(x+2) / (x+2)² = (x−2)/(x+2), pour x ≠ −2

🧠 À retenir absolument

  • (a±b)² = a² ± 2ab + b² ; a² − b² = (a−b)(a+b)
  • a³ ± b³ = (a±b)(a² ∓ ab + b²) ; (a±b)³ = a³ ± 3a²b + 3ab² ± b³
  • Trois techniques de factorisation : facteur commun, identité remarquable, groupement
  • Pour simplifier une fraction rationnelle : factoriser puis simplifier les facteurs communs non nuls
  • Toujours préciser les valeurs interdites (dénominateur ≠ 0)
1

Développer avec les identités remarquables

● Facile

Développer et réduire :

  1. (x + 4)²
  2. (2x − 3)²
  3. (5x + 1)(5x − 1)
✅ Correction
  1. (x+4)² = x² + 2(x)(4) + 4² = x² + 8x + 16
  2. (2x−3)² = (2x)² − 2(2x)(3) + 3² = 4x² − 12x + 9 = 4x² − 12x + 9
  3. (5x+1)(5x−1) = (5x)² − 1² = 25x² − 1
2

Factoriser par facteur commun ou identité

● Facile

Factoriser complètement :

  1. A = 5x² − 15x
  2. B = 4x² − 49
  3. C = x² + 10x + 25
✅ Correction
  1. A = 5x(x − 3), facteur commun 5x → A = 5x(x − 3)
  2. B = (2x)² − 7² = (2x − 7)(2x + 7)
  3. C = x² + 2(x)(5) + 5² = (x + 5)²
3

Développement d'un cube

● Moyen

Développer et réduire :

  1. D = (x − 2)³
  2. E = (3x + 1)³
✅ Correction
  1. D = x³ − 3(x²)(2) + 3(x)(2²) − 2³ = x³ − 6x² + 12x − 8 → D = x³ − 6x² + 12x − 8
  2. E = (3x)³ + 3(3x)²(1) + 3(3x)(1²) + 1³ = 27x³ + 27x² + 9x + 1 → E = 27x³ + 27x² + 9x + 1
4

Factorisation par groupement

● Moyen

Factoriser en regroupant les termes :

  1. F = 2x³ − 6x² + 5x − 15
  2. G = ax − ay − bx + by
✅ Correction
  1. F = (2x³ − 6x²) + (5x − 15) = 2x²(x − 3) + 5(x − 3) = (x − 3)(2x² + 5)
  2. G = (ax − ay) − (bx − by) = a(x − y) − b(x − y) = (x − y)(a − b)
5

Simplification et application commerciale

● Difficile

Le bénéfice B(x), en milliers de francs CFA, réalisé par une entreprise pour x centaines d'articles vendus est donné par B(x) = (x² − 9)/(x − 3), pour x ≠ 3.

  1. Factoriser x² − 9 puis simplifier B(x) pour x ≠ 3.
  2. En déduire l'expression simplifiée de B(x) et calculer B(10).
  3. Résoudre l'équation B(x) = 0 et interpréter le résultat en termes commerciaux.
✅ Correction
  1. x² − 9 = (x − 3)(x + 3) (identité a² − b² avec a = x, b = 3).
  2. B(x) = (x−3)(x+3)/(x−3) = x + 3, pour x ≠ 3. Donc B(10) = 10 + 3 = 13 (milliers de francs CFA).
  3. B(x) = 0 ⟺ x + 3 = 0 ⟺ x = −3. Cette valeur est négative, donc sans sens commercial (le nombre d'articles ne peut être négatif) : dans le contexte de l'entreprise, B(x) ne s'annule jamais pour x > 0, le bénéfice reste toujours positif et croissant avec x.

QCM — Auto-évaluation

10 questions · Une seule bonne réponse · Correction immédiate

0Score
0/10Répondues
Question 1 / 10

(x + 3)² développé est égal à :

Question 2 / 10

La factorisation de x² − 16 est :

Question 3 / 10

Le facteur commun de 6x³ − 9x² est :

Question 4 / 10

a³ − b³ se factorise en :

Question 5 / 10

Le développement de (x − 1)³ est :

Question 6 / 10

La forme simplifiée de (x² − 25)/(x − 5), pour x ≠ 5, est :

Question 7 / 10

x² + 2x + 1 est égal à :

Question 8 / 10

Pour factoriser ax + ay + bx + by, on utilise :

Question 9 / 10

Dans la fraction (x+1)/(x−2), la valeur interdite est :

Question 10 / 10

a³ + b³ se factorise en :