Objectif Général 1 — Algèbre. Résolution algébrique du second degré, discriminant, signe du trinôme, inéquations et équations bicarrées.
Une équation du second degré s'écrit ax² + bx + c = 0, avec a, b, c réels et a ≠ 0. On appelle discriminant le nombre Δ = b² − 4ac.
• Si Δ > 0 : deux solutions distinctes x₁ = (−b − √Δ)/(2a) et x₂ = (−b + √Δ)/(2a).
• Si Δ = 0 : une solution double x₀ = −b/(2a).
• Si Δ < 0 : aucune solution réelle.
Résoudre 2x² − 3x − 5 = 0 : a=2, b=−3, c=−5.
L'ensemble des solutions est S = {−1 ; 2,5}.
Si l'équation ax² + bx + c = 0 (a≠0) admet deux racines x₁ et x₂ (éventuellement confondues), alors :
S = x₁ + x₂ = −b/a et P = x₁ × x₂ = c/a
On a alors la factorisation ax² + bx + c = a(x − x₁)(x − x₂).
Pour 2x² − 3x − 5 = 0 : S = −(−3)/2 = 1,5 et P = −5/2 = −2,5. On vérifie : (−1) + 2,5 = 1,5 ✓ et (−1)×2,5 = −2,5 ✓.
Déterminer l'équation (avec a=1) dont les racines sont 4 et −3 : S = 4 + (−3) = 1, P = 4×(−3) = −12, d'où l'équation x² − x − 12 = 0.
Soit f(x) = ax² + bx + c (a≠0) :
• Si Δ < 0 : f(x) est du signe de a pour tout x réel.
• Si Δ = 0 : f(x) est du signe de a pour tout x ≠ x₀, et f(x₀) = 0.
• Si Δ > 0 (racines x₁ < x₂) : f(x) est du signe de a à l'extérieur des racines, et du signe contraire de a à l'intérieur des racines.
| x | −∞ | x₁ | x₂ | +∞ |
|---|---|---|---|---|
| signe de f(x) | signe de a | 0 | 0 | signe de a |
Étudier le signe de f(x) = 2x² − 3x − 5 : on a trouvé Δ = 49 > 0, racines −1 et 2,5, a = 2 > 0.
Donc f(x) > 0 pour x ∈ ]−∞ ; −1[ ∪ ]2,5 ; +∞[, et f(x) < 0 pour x ∈ ]−1 ; 2,5[.
Pour résoudre ax² + bx + c ≥ 0 (ou ≤, >, <), on étudie le signe du trinôme grâce au discriminant, puis on lit l'ensemble solution sur le tableau de signe.
Résoudre −x² + 2x + 3 ≥ 0 : a=−1, b=2, c=3.
a = −1 < 0, donc le trinôme est positif entre les racines. L'ensemble solution est S = [−1 ; 3].
Une équation bicarrée est de la forme ax⁴ + bx² + c = 0 (a≠0), un cas particulier d'équation de degré 4.
On pose t = x² (avec t ≥ 0), ce qui transforme l'équation en at² + bt + c = 0. On résout en t, on ne garde que les valeurs t ≥ 0, puis on revient à x avec x = ±√t.
Résoudre x⁴ − 5x² + 4 = 0. On pose t = x² :
Les deux valeurs sont positives : t=4 donne x=±2 ; t=1 donne x=±1. Donc S = {−2 ; −1 ; 1 ; 2}.
Résoudre dans R les équations suivantes :
Résoudre dans R l'équation x⁴ − 13x² + 36 = 0.
On pose t = x² (t ≥ 0) :
Les deux valeurs sont positives. t = 9 donne x = ±3 ; t = 4 donne x = ±2.
L'ensemble des solutions est S = {−3 ; −2 ; 2 ; 3}.
Le bénéfice hebdomadaire (en milliers de francs CFA) d'une entreprise commerciale est modélisé par B(x) = −x² + 20x − 51, où x est le nombre de centaines d'articles vendus (x > 0). La capacité de production maximale de l'entreprise est de 15 centaines d'articles par semaine.
10 questions · Une seule bonne réponse · Correction immédiate
Le discriminant de x² − 5x + 6 = 0 est :
Les racines de x² − 5x + 6 = 0 sont :
Si Δ < 0, l'équation ax² + bx + c = 0 admet :
Pour 2x² − 3x − 5 = 0, la somme des racines S = −b/a vaut :
Pour la même équation 2x² − 3x − 5 = 0, le produit des racines P = c/a vaut :
Si a > 0 et Δ > 0, le trinôme ax²+bx+c est du signe de a :
L'ensemble solution de x² − 4x + 4 ≥ 0 est :
L'équation bicarrée x⁴ − 5x² + 4 = 0 admet pour ensemble solution :
Lorsque Δ = 0, le trinôme ax²+bx+c est :
L'ensemble solution de l'inéquation −x² + 2x + 3 ≥ 0 est :
