Ch. 18 Mathématiques · 1ère Commerciale (PBG)

Intégrales d'une fonction continue

Objectif Général 5. Primitives, intégrale d'une fonction continue sur un intervalle, propriétés et calcul d'aire sous une courbe.

1. Primitives d'une fonction

Définition

F est une primitive de f sur un intervalle I si F est dérivable sur I et si F' = f. Deux primitives d'une même fonction diffèrent d'une constante.

Fonction f	Primitive F
f(x) = k (constante)	F(x) = kx + C
f(x) = xⁿ (n ≠ −1)	F(x) = xⁿ⁺¹/(n+1) + C
f(x) = cos x	F(x) = sin x + C
f(x) = sin x	F(x) = −cos x + C

Exemples résolus

f(x) = 3x² − 4x + 5 → une primitive : F(x) = x³ − 2x² + 5x + C.

f(x) = cos x − 2 sin x → une primitive : F(x) = sin x + 2 cos x + C.

2. Intégrale d'une fonction continue sur [a ; b]

Définition

Si F est une primitive de f, continue sur [a ; b], alors l'intégrale de f entre a et b est :

\int[a\tob] f(x) dx = [F(x)]ᵃᵇ = F(b) - F(a)

Exemples résolus

∫[0→2] 3x² dx. Primitive : F(x) = x³. F(2) − F(0) = 8 − 0 = 8.

∫[1→3] (2x+1) dx. Primitive : F(x) = x²+x. F(3) − F(1) = (9+3) − (1+1) = 12 − 2 = 10.

3. Propriétés de l'intégrale

Propriétés fondamentales

• Linéarité : ∫(f+g) = ∫f + ∫g et ∫(k·f) = k·∫f

• Relation de Chasles : ∫[a→c] f = ∫[a→b] f + ∫[b→c] f

• Si f ≥ 0 sur [a;b], alors ∫[a→b] f ≥ 0 ; si f ≤ g sur [a;b], alors ∫[a→b] f ≤ ∫[a→b] g

• ∫[a→a] f = 0 et ∫[a→b] f = − ∫[b→a] f

Exemple résolu

∫[0→1] (2x+3) dx, par linéarité : 2∫[0→1]x dx + 3∫[0→1]1 dx = 2×(1/2) + 3×1 = 1+3 = 4.

Contrôle direct : F(x)=x²+3x, F(1)−F(0) = 4−0 = 4 ✓.

4. Calcul d'aire sous une courbe

Définition

Si f est continue et positive ou nulle sur [a ; b], l'aire du domaine délimité par la courbe de f, l'axe des abscisses et les droites x=a, x=b vaut, en unités d'aire :

A = \int[a\tob] f(x) dx

Exemple résolu

Aire sous la courbe de f(x) = x² entre x=0 et x=3 : ∫[0→3] x² dx = [x³/3]₀³ = 27/3 − 0 = 9 unités d'aire.

🧠 À retenir absolument

F primitive de f ⟺ F' = f ; deux primitives diffèrent d'une constante
∫[a→b] f(x) dx = F(b) − F(a)
Linéarité, relation de Chasles, positivité si f≥0
Si f≥0 sur [a;b], l'aire sous la courbe vaut ∫[a→b] f(x) dx
∫[a→a] f = 0 ; ∫[a→b] f = −∫[b→a] f

Trouver une primitive

● Facile

Déterminer une primitive de :

f(x) = 4x³ − 6x² + 2
g(x) = 5

✅ Correction

F(x) = x⁴ − 2x³ + 2x + C.
G(x) = 5x + C.

Calculs d'intégrales simples

● Facile

Calculer :

∫[0→2] x² dx
∫[1→4] 3 dx

✅ Correction

Primitive F(x)=x³/3. F(2)−F(0) = 8/3 − 0 = 8/3.
Primitive F(x)=3x. F(4)−F(1) = 12−3 = 9.

Intégrales de polynômes

● Moyen

Calculer :

∫[0→1] (3x² − 2x + 1) dx
∫[−1→2] (2x + 3) dx

✅ Correction

Primitive F(x)=x³−x²+x. F(1)−F(0) = (1−1+1) − 0 = 1.
Primitive F(x)=x²+3x. F(2)−F(−1) = (4+6) − (1−3) = 10 − (−2) = 12.

Calcul d'aire

● Moyen

Calculer l'aire délimitée par la courbe de f(x) = −x² + 4, l'axe des abscisses, et les droites x=−1 et x=1 (on admettra que f(x) ≥ 0 sur [−1;1]).

✅ Correction

Primitive : F(x) = −x³/3 + 4x.

F(1) = -1/3 + 4 = 11/3 F(-1) = 1/3 - 4 = -11/3 Aire = F(1) - F(-1) = 11/3 - (-11/3) = 22/3

Aire = 22/3 unités d'aire.

Production cumulée — problème de synthèse

● Difficile

Le rythme de production d'une usine (en unités par jour) est donné par r(t) = 6t² − 2t + 5, pour t ∈ [0 ; 5] (t en jours écoulés depuis le début du mois).

Déterminer la primitive R(t) de r(t) telle que R(0) = 0 (production cumulée depuis le début).
Calculer la production totale entre le 1ᵉʳ et le 4ᵉ jour, c'est-à-dire ∫[1→4] r(t) dt.
Vérifier ce résultat à l'aide de R(4) et R(1), puis interpréter.

✅ Correction

R(t) = 2t³ − t² + 5t + C. Comme R(0)=0, on a C=0 : R(t) = 2t³ − t² + 5t.
∫[1→4] r(t) dt = R(4) − R(1). R(4) = 2×64 − 16 + 20 = 128−16+20 = 132. R(1) = 2−1+5 = 6. Donc ∫[1→4] r(t) dt = 132−6 = 126.
R(4)=132 et R(1)=6 confirment le calcul précédent : R(4)−R(1)=126. 126 unités ont été produites entre le 1ᵉʳ et le 4ᵉ jour.

QCM — Auto-évaluation

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Question 1 / 10

F est une primitive de f sur I si :

Question 2 / 10

Une primitive de f(x) = 3x² est :

Question 3 / 10

∫[0→2] x² dx est égal à :

Question 4 / 10

∫[1→3] (2x + 1) dx est égal à :

Question 5 / 10

Si F est une primitive de f sur [a;b], alors ∫[a→b] f(x) dx est égal à :

Question 6 / 10

La relation de Chasles pour les intégrales s'écrit :

Question 7 / 10

∫[0→1] (3x² − 2x + 1) dx est égal à :

Question 8 / 10

Si f ≥ 0 sur [a;b], l'aire sous la courbe de f entre x=a et x=b vaut :

Question 9 / 10

L'aire sous la courbe de f(x) = x² entre x=0 et x=3 vaut :

Question 10 / 10

∫[a→a] f(x) dx est égal à :