Ch. 17 Mathématiques · 1ère Commerciale (PBG)

Dénombrement

Objectif Général 5. Principes additif et multiplicatif, factorielle, arrangements et combinaisons, avec applications commerciales.

1. Principes additif et multiplicatif

Principe additif

Si un choix se fait entre deux catégories incompatibles (l'une OU l'autre), le nombre total de possibilités est la somme des possibilités de chaque catégorie.

Principe multiplicatif

Si un choix se décompose en plusieurs étapes successives et indépendantes, le nombre total de possibilités est le produit du nombre de choix à chaque étape.

Exemples résolus

Additif : un magasin propose 5 modèles de chemises OU 3 modèles de vestes. Un client choisit un seul article : 5+3 = 8 choix.

Multiplicatif : un menu comporte 4 entrées, 3 plats, 2 desserts. Nombre de menus complets : 4×3×2 = 24 menus.

2. Factorielle et permutations

Définition

Pour n entier naturel non nul, la factorielle de n est : n! = n×(n−1)×…×2×1, avec par convention 0! = 1.

Le nombre de façons d'ordonner (permuter) n objets distincts est n!.

Exemples résolus

4! = 4×3×2×1 = 24. Nombre de façons de ranger 5 livres distincts sur une étagère : 5! = 120.

3. Arrangements

Définition

Un arrangement de p objets choisis parmi n objets distincts (p ≤ n), sans répétition et en tenant compte de l'ordre, se compte par :

A(n,p) = n! / (n-p)! = n\times(n-1)\times\dots\times(n-p+1)

Exemples résolus

Nombre de façons de désigner un président et un vice-président parmi 6 candidats : A(6,2) = 6×5 = 30.

A(5,3) = 5×4×3 = 60.

4. Combinaisons

Définition

Une combinaison de p objets choisis parmi n objets distincts, sans tenir compte de l'ordre, se compte par :

C(n,p) = n! / [p!(n-p)!] = A(n,p) / p!

Propriétés

C(n,0) = 1 ; C(n,n) = 1 ; C(n,p) = C(n,n−p)

Exemples résolus

Nombre de façons de choisir 2 délégués parmi 6 (sans distinction de rôle) : C(6,2) = 6!/(2!4!) = (6×5)/2 = 15.

C(5,3) = (5×4)/2 = 10.

5. Arrangement ou combinaison : comment choisir ?

Critère	Arrangement A(n,p)	Combinaison C(n,p)
Ordre des éléments	compte	ne compte pas
Répétition	non autorisée	non autorisée
Exemple typique	tiercé, podium, rôles distincts	comité, tirage simultané

🧠 À retenir absolument

Principe additif : choix exclusifs → on additionne ; principe multiplicatif : étapes successives → on multiplie
n! = n×(n−1)×…×1, avec 0!=1 ; nombre de permutations de n objets = n!
A(n,p) = n!/(n−p)! : l'ordre compte
C(n,p) = n!/[p!(n−p)!] : l'ordre ne compte pas
C(n,p) = C(n,n−p) ; choisir p éléments revient à en écarter n−p

Principe multiplicatif

● Facile

Résoudre :

Un client compose son petit-déjeuner en choisissant 1 boisson parmi 3, 1 pain parmi 4, 1 accompagnement parmi 2. Combien de petits-déjeuners différents peut-il composer ?
Une plaque d'immatriculation comporte 2 lettres suivies de 3 chiffres (répétitions autorisées, 26 lettres, 10 chiffres). Combien de plaques différentes sont possibles ?

✅ Correction

3 × 4 × 2 = 24 petits-déjeuners.
26 × 26 × 10 × 10 × 10 = 26² × 10³ = 676 × 1000 = 676 000 plaques.

Factorielle et arrangements

● Facile

Calculer :

6!
A(5,2)

✅ Correction

6! = 6×5×4×3×2×1 = 720.
A(5,2) = 5×4 = 20.

Combinaisons — comité d'entreprise

● Moyen

Une entreprise choisit un comité de 3 employés parmi 8 candidats (dont 3 femmes et 5 hommes).

Combien de comités différents sont possibles ?
Combien de comités comportant exactement 2 femmes et 1 homme peut-on former ?

✅ Correction

C(8,3) = 8!/(3!5!) = (8×7×6)/(3×2×1) = 336/6 = 56 comités.
Choisir 2 femmes parmi 3 : C(3,2)=3. Choisir 1 homme parmi 5 : C(5,1)=5. Total : 3×5 = 15 comités.

Distinguer arrangement et combinaison

● Moyen

Un jury de 4 personnes doit être choisi parmi 10 candidats.

Si les 4 membres ont des rôles identiques, combien de jurys possibles ?
Si, en plus, on désigne un président et un secrétaire parmi ces 4 personnes, combien de configurations possibles au total ?

✅ Correction

Les rôles étant identiques, l'ordre ne compte pas : C(10,4) = 10!/(4!6!) = 210 jurys.
On choisit d'abord les 4 personnes : C(10,4)=210 façons ; puis on désigne le président et le secrétaire parmi ces 4 (l'ordre compte) : A(4,2)=4×3=12 façons. Total : 210×12 = 2520 configurations.
Vérification directe : président (10 choix) × secrétaire parmi les 9 restants (9 choix) × 2 membres simples parmi les 8 restants, sans ordre (C(8,2)=28) = 10×9×28 = 2520 ✓.

Codes d'accès — problème de synthèse

● Difficile

Un code d'accès à un distributeur est composé de 4 chiffres distincts choisis parmi {0,1,…,9}, le premier chiffre ne pouvant pas être 0.

Combien de codes sont possibles ?
Parmi ces codes, combien commencent par un chiffre pair non nul (2, 4, 6 ou 8) ?

✅ Correction

Premier chiffre : 9 choix possibles (1 à 9, pas 0). Les 3 chiffres suivants, distincts entre eux et du premier, sont choisis parmi les 9 chiffres restants (incluant 0), avec ordre : A(9,3) = 9×8×7 = 504. Total : 9 × 504 = 4536 codes.
Vérification : A(10,4) − (codes commençant par 0) = 10×9×8×7 − 9×8×7 = 5040 − 504 = 4536 ✓.
Premier chiffre pair non nul : 4 choix (2,4,6,8). Les 3 chiffres suivants distincts, choisis parmi les 9 chiffres restants, avec ordre : A(9,3)=504. Total : 4×504 = 2016 codes.

QCM — Auto-évaluation

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Question 1 / 10

Le principe multiplicatif s'applique lorsque les choix sont :

Question 2 / 10

5! est égal à :

Question 3 / 10

A(5,2) est égal à :

Question 4 / 10

C(6,2) est égal à :

Question 5 / 10

Dans un arrangement, contrairement à une combinaison :

Question 6 / 10

C(8,3) est égal à :

Question 7 / 10

Un menu propose 3 entrées, 4 plats et 2 desserts. Le nombre de menus complets possibles est :

Question 8 / 10

C(5,3) est égal à :

Question 9 / 10

L'égalité C(n,p) = C(n,n−p) traduit le fait que :

Question 10 / 10

Combien de mots de 3 lettres distinctes peut-on former avec les 5 lettres A, B, C, D, E (chaque lettre utilisée au plus une fois, l'ordre comptant) ?