Ch. 01 Mathématiques · 1ère Industrielle (PE)

Calculs algébriques

Objectif Général 1 — Algèbre : équations et systèmes. Identités remarquables, puissances, radicaux et techniques de factorisation.

1. Identités remarquables

Degré 2

Pour tous réels a et b :

(a + b)² = a² + 2ab + b²

(a − b)² = a² − 2ab + b²

(a + b)(a − b) = a² − b²

Degré 3

(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

(a − b)³ = a³ − 3a²b + 3ab² − b³

a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²)

a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²)

Remarque

Les facteurs a² − ab + b² et a² + ab + b² ne se factorisent pas davantage dans ℝ en général : ils n'admettent pas de racine évidente.

Exemples résolus

Développer (2x − 3)³ :

(2x-3)³ = (2x)³ - 3(2x)²(3) + 3(2x)(3)² - 3³ = 8x³ - 36x² + 54x - 27

Factoriser x³ − 8 : on reconnaît a³ − b³ avec a = x, b = 2.

x³ - 8 = (x - 2)(x² + 2x + 4)

2. Puissances et racines carrées

Règles de puissances

Pour a ≠ 0 et m, n entiers relatifs :

aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ a⁻ⁿ = 1/aⁿ (ab)ⁿ = aⁿbⁿ

Racines carrées

Pour a ≥ 0, √a est l'unique réel positif dont le carré vaut a. Pour a, b ≥ 0 (et b > 0 pour le quotient) :

√(ab) = √a × √b √(a/b) = √a / √b (√a)² = a

Rationaliser un dénominateur

Pour supprimer une racine au dénominateur, on multiplie numérateur et dénominateur par l'expression conjuguée : (√a − √b)(√a + √b) = a − b.

Exemples résolus

Simplifier √50 + √72 − √18 :

\sqrt50 = 5\sqrt2 ; \sqrt72 = 6\sqrt2 ; \sqrt18 = 3\sqrt2 \sqrt50 + \sqrt72 - \sqrt18 = 5\sqrt2 + 6\sqrt2 - 3\sqrt2 = 8\sqrt2

Rationaliser 1 / (√5 − √3) :

1/(\sqrt5-\sqrt3) = (\sqrt5+\sqrt3) / ((\sqrt5)²-(\sqrt3)²) = (\sqrt5+\sqrt3) / 2

3. Techniques de factorisation

Trois méthodes de base

Facteur commun : mettre en évidence un facteur présent dans tous les termes.
Groupement de termes : regrouper deux à deux pour faire apparaître un facteur commun.
Identités remarquables : reconnaître une des formes du paragraphe 1.

Exemples résolus

Facteur commun : 3x² − 6x = 3x(x − 2)

Groupement : factoriser x³ + x² − x − 1.

x³+x²-x-1 = x²(x+1) - (x+1) = (x+1)(x²-1) = (x+1)(x-1)(x+1) = (x-1)(x+1)²

🧠 À retenir absolument

(a±b)² = a² ± 2ab + b² ; a² − b² = (a−b)(a+b)
(a±b)³ développe en quatre termes ; a³±b³ = (a±b)(a²∓ab+b²)
√(ab) = √a·√b seulement si a ≥ 0 et b ≥ 0
Pour rationaliser, multiplier par l'expression conjuguée
Toujours essayer dans l'ordre : facteur commun, groupement, identité remarquable

Développer des expressions

● Facile

Développer et réduire :

(x + 5)²
(2x − 1)²
(3 − x)(3 + x)

✅ Correction

(x+5)² = x² + 10x + 25
(2x−1)² = 4x² − 4x + 1
(3−x)(3+x) = 9 − x²

Simplifier des radicaux

● Facile

Écrire sous la forme la plus simple :

√75
√98 − √8
(√3 + √2)(√3 − √2)

✅ Correction

√75 = √(25×3) = 5√3
√98 = 7√2 et √8 = 2√2, donc √98 − √8 = 5√2
(√3+√2)(√3−√2) = 3 − 2 = 1

Factoriser

● Moyen

Factoriser complètement :

9x² − 25
x³ + 27
2x² − 8x

✅ Correction

9x²−25 = (3x)²−5² = (3x−5)(3x+5)
x³+27 = x³+3³ = (x+3)(x²−3x+9)
2x²−8x = 2x(x−4)

Rationaliser un dénominateur

● Moyen

Rationaliser :

3 / √7
2 / (√6 + 2)

✅ Correction

3/√7 = 3√7 / 7
2/(√6+2) = 2(√6−2) / ((√6)²−2²) = 2(√6−2) / 2 = √6 − 2

Identité a⁴ − b⁴ et application

● Difficile

Démontrer que pour tous réels a, b : a⁴ − b⁴ = (a−b)(a+b)(a²+b²).
En déduire la factorisation complète de x⁴ − 16.
En posant a = √5+1 et b = √5−1, calculer la valeur exacte de a⁴ − b⁴.

✅ Correction

a⁴−b⁴ = (a²)²−(b²)² = (a²−b²)(a²+b²) = (a−b)(a+b)(a²+b²) en appliquant deux fois a²−b²=(a−b)(a+b).
x⁴−16 = (x²)²−4² = (x²−4)(x²+4) = (x−2)(x+2)(x²+4). Le facteur x²+4 ne se factorise pas dans ℝ (toujours positif).
a−b = 2 ; a+b = 2√5 ; a² = 6+2√5 et b² = 6−2√5 donc a²+b² = 12. $a⁴ - b⁴ = (a-b)(a+b)(a²+b²) = 2 \times 2\sqrt5 \times 12 = 48\sqrt5$

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0/10Répondues

Question 1 / 10

(x − 4)² développé est égal à :

Question 2 / 10

x² − 49 se factorise en :

Question 3 / 10

Dans le développement de (a + b)³, le coefficient du terme a²b est :

Question 4 / 10

La forme simplifiée de √48 est :

Question 5 / 10

1 / √2 rationalisé s'écrit :

Question 6 / 10

a³ − b³ se factorise en :

Question 7 / 10

2⁵ × 2⁻³ est égal à :

Question 8 / 10

(√7)² est égal à :

Question 9 / 10

La factorisation complète de x³ − x est :

Question 10 / 10

(3 − √5)(3 + √5) est égal à :