Ch. 02 Mathématiques · 1ère Industrielle (PE)

Équations et inéquations de degré ≥ 2 dans R

Objectif Général 1 — Algèbre : équations et systèmes. Trinôme du second degré, discriminant, signe et résolution d'équations de degré supérieur.

1. Le trinôme du second degré

Définition

Un trinôme du second degré est une expression de la forme f(x) = ax² + bx + c avec a, b, c réels et a ≠ 0. Le réel Δ = b² − 4ac est appelé discriminant du trinôme.

Forme canonique

Pour tout x réel :

ax² + bx + c = a(x + b/2a)² − Δ/(4a)

Exemple résolu

Forme canonique de f(x) = 2x² − 4x + 5 : a = 2, b = −4, c = 5, donc Δ = 16 − 40 = −24.

f(x) = 2(x - 1)² - (-24)/8 = 2(x - 1)² + 3

Vérification : 2(x−1)²+3 = 2x²−4x+2+3 = 2x²−4x+5. ✓

2. Résolution de l'équation ax² + bx + c = 0

Théorème (racines selon le signe de Δ)

• Si Δ > 0 : deux racines distinctes x₁ = (−b−√Δ)/2a et x₂ = (−b+√Δ)/2a

• Si Δ = 0 : une racine double x₀ = −b/2a

• Si Δ < 0 : aucune racine réelle

Relations entre coefficients et racines (Viète)

Si x₁ et x₂ sont les deux racines de ax²+bx+c (Δ ≥ 0) : x₁ + x₂ = −b/a et x₁ × x₂ = c/a.

Exemple résolu

Résoudre 2x² − 5x + 2 = 0 : a=2, b=−5, c=2, Δ = 25 − 16 = 9 > 0, √Δ = 3.

x₁ = (5-3)/4 = 1/2 ; x₂ = (5+3)/4 = 2

Vérification Viète : x₁+x₂ = 2,5 = 5/2 = −b/a ✓ et x₁×x₂ = 1 = c/a ✓

3. Signe du trinôme et inéquations

Règle du signe (« signe de a sauf entre les racines »)

Si Δ > 0, le trinôme est du signe de a à l'extérieur des racines, et du signe de −a entre les racines. Si Δ = 0, le trinôme est du signe de a partout sauf en x₀ où il s'annule. Si Δ < 0, le trinôme est toujours du signe de a.

Exemples résolus

Résoudre −x² + 3x − 2 > 0 : racines de x²−3x+2 = 0 sont Δ=1, x = 1 et x = 2. Ici a = −1 < 0, donc le trinôme est positif entre les racines.

S = ]1 ; 2[

Résoudre x⁴ − 5x² + 4 = 0 : on pose X = x² (X ≥ 0). X² − 5X + 4 = 0, Δ = 9, X = 1 ou X = 4.

x² = 1 \to x = -1 ou x = 1 ; x² = 4 \to x = -2 ou x = 2 S = {-2 ; -1 ; 1 ; 2}

🧠 À retenir absolument

Δ = b² − 4ac détermine le nombre de racines réelles
x₁,₂ = (−b ± √Δ) / 2a lorsque Δ ≥ 0
Somme = −b/a, produit = c/a (relations de Viète)
Le trinôme est du signe de a « à l'extérieur » des racines si Δ > 0
Une équation bicarrée se résout via le changement X = x²

Résoudre une équation du second degré

● Facile

Résoudre dans ℝ l'équation x² − 5x + 6 = 0.

✅ Correction

a=1, b=−5, c=6. Δ = 25 − 24 = 1 > 0, √Δ = 1.

x₁ = (5-1)/2 = 2 ; x₂ = (5+1)/2 = 3

S = {2 ; 3}

Nature des racines

● Facile

Sans résoudre, déterminer le nombre de racines réelles de :

3x² + 2x + 5 = 0
x² − 6x + 9 = 0

✅ Correction

Δ = 4 − 60 = −56 < 0 → aucune racine réelle
Δ = 36 − 36 = 0 → une racine double, x₀ = 6/2 = 3

Résoudre une inéquation

● Moyen

Résoudre dans ℝ : x² − x − 6 ≤ 0.

✅ Correction

Racines : Δ = 1 + 24 = 25, √Δ = 5, x = (1−5)/2 = −2 ou x = (1+5)/2 = 3.

a = 1 > 0 : le trinôme est négatif (ou nul) entre les racines.

S = [-2 ; 3]

Application des relations de Viète

● Moyen

Déterminer deux nombres réels dont la somme est 7 et le produit est 12.

✅ Correction

Ces deux nombres sont les racines de x² − 7x + 12 = 0 (somme = 7, produit = 12).

Δ = 49 − 48 = 1, √Δ = 1, x = (7−1)/2 = 3 ou x = (7+1)/2 = 4.

Les deux nombres cherchés sont 3 et 4 (3+4=7, 3×4=12 ✓).

Équation bicarrée et paramètre

● Difficile

Résoudre dans ℝ l'équation x⁴ − 13x² + 36 = 0.
On considère l'équation x² − 2mx + m + 2 = 0 d'inconnue x, où m est un paramètre réel. Déterminer les valeurs de m pour lesquelles cette équation admet deux racines réelles distinctes.

✅ Correction

On pose X = x² (X ≥ 0). X² − 13X + 36 = 0, Δ = 169 − 144 = 25, √Δ = 5. $X = (13-5)/2 = 4 ou X = (13+5)/2 = 9 x² = 4 \to x = \pm2 ; x² = 9 \to x = \pm3 S = {-3 ; -2 ; 2 ; 3}$
Ici a=1, b=−2m, c=m+2. Δ = (−2m)² − 4(m+2) = 4m² − 4m − 8 = 4(m² − m − 2) = 4(m−2)(m+1).
Deux racines distinctes ⟺ Δ > 0 ⟺ (m−2)(m+1) > 0 ⟺ m < −1 ou m > 2.

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0/10Répondues

Question 1 / 10

Le discriminant de x² − 4x + 3 est :

Question 2 / 10

Lorsque Δ < 0, le nombre de racines réelles est :

Question 3 / 10

Les solutions de x² − 9 = 0 sont :

Question 4 / 10

La somme des racines de 2x² − 6x + 1 = 0 vaut :

Question 5 / 10

Le produit des racines de x² − 5x + 6 = 0 vaut :

Question 6 / 10

Pour tout x réel, x² + 1 est :

Question 7 / 10

L'ensemble des solutions de x² − 4 > 0 est :

Question 8 / 10

L'équation x² − 6x + 9 = 0 admet :

Question 9 / 10

Pour que x² + mx + 4 = 0 admette une racine double, il faut :

Question 10 / 10

L'équation x⁴ − 5x² + 4 = 0 admet exactement :