Objectif Général 2 — Géométrie vectorielle. Opérations sur les vecteurs, colinéarité dans le plan, coplanarité dans l'espace.
Si A(x_A ; y_A) et B(x_B ; y_B), le vecteur AB a pour coordonnées (x_B − x_A ; y_B − y_A).
Pour u(x ; y) et v(x' ; y') et k réel : u + v = (x+x' ; y+y') et k·u = (kx ; ky).
Relation de Chasles : pour tous points A, B, C : AB + BC = AC.
A(2 ; −1), B(5 ; 3) : AB = (5−2 ; 3−(−1)) = (3 ; 4). Norme : ‖AB‖ = √(3²+4²) = √25 = 5.
Deux vecteurs u(x ; y) et v(x' ; y') sont colinéaires s'il existe un réel k tel que v = k·u (ou l'un des deux est nul).
u et v colinéaires ⟺ xy' − x'y = 0
Application : les points A, B, C sont alignés si et seulement si les vecteurs AB et AC sont colinéaires.
u(2 ; 3) et v(4 ; 6) : 2×6 − 3×4 = 12−12 = 0, donc colinéaires (en effet v = 2u).
Un vecteur de l'espace a trois coordonnées (x ; y ; z). Les opérations (somme, produit par un scalaire) se font coordonnée par coordonnée, comme dans le plan.
Trois vecteurs u(x₁;y₁;z₁), v(x₂;y₂;z₂), w(x₃;y₃;z₃) sont coplanaires (l'un est combinaison linéaire des deux autres) si et seulement si :
u(1;0;1), v(0;1;1), w(1;1;2) :
Les trois vecteurs sont coplanaires : on vérifie d'ailleurs que w = u + v.
A(2 ; −1) et B(5 ; 3). Calculer les coordonnées de AB puis sa norme.
AB = (5−2 ; 3−(−1)) = (3 ; 4).
‖AB‖ = √(3²+4²) = √(9+16) = √25 = 5
u(1 ; −2) et v(−3 ; 5). Calculer u + v et 3u.
u+v = (1+(−3) ; −2+5) = (−2 ; 3)
3u = (3×1 ; 3×(−2)) = (3 ; −6)
Les points A(1 ; 1), B(3 ; 5) et C(5 ; 9) sont-ils alignés ?
AB = (2 ; 4) et AC = (4 ; 8).
Le déterminant est nul : AB et AC sont colinéaires (AC = 2AB), donc A, B, C sont alignés.
Déterminer les valeurs de m pour lesquelles u(2 ; m) et v(m ; 8) sont colinéaires.
Les vecteurs u(1;2;−1), v(2;−1;1), w(4;3;−1) sont-ils coplanaires ? Si oui, exprimer w comme combinaison linéaire de u et v.
Le déterminant est nul : les trois vecteurs sont coplanaires.
On cherche a, b tels que w = a·u + b·v : 4=a+2b ; 3=2a−b ; −1=−a+b.
De la 3ᵉ équation : a = b+1. En remplaçant dans la 1ʳᵉ : 4=(b+1)+2b=3b+1 → b=1, donc a=2.
Vérification (2ᵉ éq.) : 2×2−1=3 ✓. Conclusion : w = 2u + v.
10 questions · Une seule bonne réponse · Correction immédiate
Pour A(2 ; −1) et B(5 ; 3), les coordonnées de AB sont :
La norme du vecteur AB(3 ; 4) est :
Pour u(1 ; −2) et v(−3 ; 5), u + v vaut :
Deux vecteurs u(x;y) et v(x′;y′) sont colinéaires si et seulement si :
Les points A(1;1), B(3;5), C(5;9) sont :
u(2;m) et v(m;8) sont colinéaires pour :
La relation de Chasles AB + BC est égale à :
Si le déterminant 3×3 de trois vecteurs de l'espace est nul, alors ces vecteurs sont :
Pour u(1;2;−1), v(2;−1;1), w(4;3;−1), le déterminant vaut :
Dans l'exercice précédent, w s'exprime en fonction de u et v par :
