Objectif Général 1 — Algèbre : équations et systèmes. Résolution avec racines carrées, conditions d'existence, élimination des solutions étrangères.
Pour a ≥ 0, √a est toujours positif ou nul. Une équation √(f(x)) = g(x) ne peut donc avoir de solution que si g(x) ≥ 0 : c'est la condition de compatibilité.
Résoudre √(2x + 3) = x : condition x ≥ 0.
x = −1 est rejeté (ne vérifie pas x ≥ 0). Pour x = 3 : √(2×3+3) = √9 = 3 = x ✓.
S = {3}
Pour f(x) ≥ 0 et g(x) ≥ 0 : √(f(x)) = √(g(x)) ⟺ f(x) = g(x). Il suffit de vérifier que l'une des deux expressions est positive (l'égalité impose alors que l'autre le soit aussi).
Résoudre √(2x − 1) = √(x + 5) :
Vérification du domaine : 2×6−1 = 11 ≥ 0. S = {6}
Nécessite : f(x) ≥ 0, g(x) > 0, puis f(x) < [g(x)]² (le carré préserve le sens de l'inégalité car les deux membres sont positifs).
Si g(x) < 0 : toute valeur du domaine convient (une racine est toujours ≥ 0). Si g(x) ≥ 0 : il faut f(x) > [g(x)]².
Résoudre √(x + 2) < x : condition x + 2 ≥ 0 et x > 0, soit x > 0.
En combinant avec x > 0 : S = ]2 ; +∞[. Vérification en x=3 : √5≈2,24 < 3 ✓
Résoudre dans ℝ : √(3x + 1) = 4.
Le second membre 4 ≥ 0, la condition est automatiquement vérifiée.
Vérification : 3×5+1=16≥0, √16=4 ✓. S = {5}
Résoudre dans ℝ : √(x − 2) = x − 4.
Condition : x − 4 ≥ 0, soit x ≥ 4.
x = 3 est rejeté car 3 < 4. Pour x = 6 : √(6−2)=√4=2=6−4 ✓.
S = {6}
Résoudre dans ℝ : √(2x − 1) = √(x + 5).
Domaine : 2×6−1=11≥0 et 6+5=11≥0. Les deux membres valent √11. S = {6}
Résoudre dans ℝ : √(x + 2) < x.
Domaine : x+2≥0 soit x≥−2. Condition du second membre : x>0 (sinon l'inégalité est fausse car la racine est ≥0).
En intersectant avec x > 0 : S = ]2 ; +∞[.
Cas 1 : x − 3 < 0, soit 1 ≤ x < 3. L'inégalité √(x−1) > x−3 est automatiquement vraie (racine ≥0 > nombre négatif).
Cas 2 : x ≥ 3. On élève au carré : x−1 > (x−3)² = x²−6x+9 → 0 > x²−7x+10 → (x−2)(x−5) < 0 → 2<x<5. Intersecté avec x≥3 : 3 ≤ x < 5.
Réunion des deux cas : S = [1 ; 5[.
Vérification : √((−1)²−(−1)−2) = √(1+1−2) = √0 = 0 = −1+1 ✓. S = {−1}.
10 questions · Une seule bonne réponse · Correction immédiate
La solution de √(3x + 1) = 4 est :
Pour que √(f(x)) = g(x) admette une solution, il est nécessaire que :
Pour √(x − 2) = x − 4, la solution retenue est :
Dans l'exercice précédent, x = 3 est rejeté car :
La solution de √(2x − 1) = √(x + 5) est :
L'ensemble des solutions de √(x + 2) < x est :
La valeur x = 2 est-elle solution de √(x + 2) < x ?
Le domaine de définition de √(x² − x − 2) est :
L'équation √(x² − x − 2) = x + 1 admet pour solution :
Après avoir élevé au carré une équation irrationnelle, l'étape indispensable est :
