Objectif Général 2 — Géométrie vectorielle. Sous-espaces vectoriels, familles libres et génératrices, bases et dimension dans R² et R³.
Un ensemble E muni d'une addition et d'une multiplication par un réel est un espace vectoriel réel si l'addition est commutative, associative, possède un élément neutre (le vecteur nul 0) et chaque élément a un opposé, et si la multiplication externe vérifie : a(u+v)=au+av, (a+b)u=au+bu, a(bu)=(ab)u et 1·u=u, pour tous vecteurs u,v et réels a,b. Les ensembles R², R³ (vecteurs du plan et de l'espace) sont les exemples de référence en 1ère.
Une partie F d'un espace vectoriel E est un sous-espace vectoriel de E si :
F = {(x;y) ∈ R² : y = 2x} (une droite vectorielle). 0=(0;0) vérifie 0=2×0 ✓. Soient u=(x₁;2x₁) et v=(x₂;2x₂) dans F, a,b∈R : au+bv=(ax₁+bx₂ ; 2ax₁+2bx₂)=(ax₁+bx₂ ; 2(ax₁+bx₂)), qui vérifie bien « seconde coordonnée = 2 × première » : au+bv ∈ F. F est un sous-espace vectoriel de R².
Un vecteur v est combinaison linéaire des vecteurs u₁,…,uₙ s'il existe des réels a₁,…,aₙ tels que v = a₁u₁ + a₂u₂ + … + aₙuₙ.
La famille (u₁,…,uₙ) est libre (les vecteurs sont linéairement indépendants) si :
a₁u₁ + … + aₙuₙ = 0 ⟹ a₁ = a₂ = … = aₙ = 0
Sinon, elle est liée : il existe une combinaison non triviale (coefficients non tous nuls) égale au vecteur nul, ce qui équivaut à dire qu'au moins un des vecteurs est combinaison linéaire des autres.
La famille (u₁,…,uₙ) est génératrice de E si tout vecteur de E peut s'écrire comme combinaison linéaire de u₁,…,uₙ.
u(1;2), v(3;6) : v = 3u, donc la famille (u,v) est liée (v est combinaison linéaire de u).
Une famille de vecteurs est une base de E si elle est à la fois libre et génératrice. Le nombre de vecteurs d'une base est appelé la dimension de E ; ce nombre est le même pour toutes les bases de E.
• dim(R²) = 2 ; dim(R³) = 3.
• Dans un espace de dimension n, toute famille de plus de n vecteurs est nécessairement liée.
• Dans un espace de dimension n, une famille de n vecteurs libres est automatiquement une base.
Dans R², soit u(1;1) et v(2;−1). Sont-ils libres ? Cherchons a,b tels que au+bv=0 : (a+2b ; a−b)=(0;0) ⟹ a+2b=0 et a=b ⟹ b+2b=0 ⟹ 3b=0 ⟹ b=0 puis a=0. La famille est libre. Comme dim(R²)=2 et qu'on a 2 vecteurs libres, (u,v) est une base de R².
Montrer que F = {(x;y) ∈ R² : x + y = 0} est un sous-espace vectoriel de R².
0=(0;0) vérifie 0+0=0 ✓, donc F est non vide. Soient u=(x₁;−x₁) et v=(x₂;−x₂) dans F, a,b réels : au+bv=(ax₁+bx₂ ; −ax₁−bx₂), et l'on a bien (ax₁+bx₂) + (−ax₁−bx₂) = 0. Donc au+bv ∈ F. F est un sous-espace vectoriel de R² (droite d'équation y=−x).
La famille (u,v) avec u(2;−1) et v(−4;2) est-elle libre ou liée ?
On remarque que v = −2u (car −2×2=−4 et −2×(−1)=2). Il existe donc une combinaison non triviale : v−(−2)u=0, soit v+2u=0. La famille est liée.
Montrer que la famille (u,v) avec u(1;1) et v(2;−1) est une base de R².
Liberté : a(1;1)+b(2;−1)=(0;0) ⟹ a+2b=0 et a−b=0 ⟹ a=b, donc b+2b=0 ⟹ 3b=0 ⟹ b=0, puis a=0. La famille est libre.
Conclusion : dim(R²)=2 et (u,v) est une famille libre de 2 vecteurs dans un espace de dimension 2 : c'est donc automatiquement une base de R².
Dans R³, on donne u(1;2;1), v(0;1;−1), w(2;3;3). Cette famille est-elle libre ou liée ? Si elle est liée, exprimer w en fonction de u et v.
Cherchons a, b tels que w = au + bv : (a ; 2a+b ; a−b) = (2 ; 3 ; 3).
De la 1ʳᵉ coordonnée : a = 2. De la 2ᵉ : 2×2+b=3 ⟹ b=−1. On vérifie la 3ᵉ : a−b=2−(−1)=3 ✓.
Donc w = 2u − v. La famille (u,v,w) est liée (w est combinaison linéaire de u et v).
Dans R³, soit F le sous-espace engendré par u(1;1;0), v(0;1;1), w(1;2;1). Déterminer une famille libre génératrice de F et sa dimension.
On remarque que u + v = (1+0 ; 1+1 ; 0+1) = (1 ; 2 ; 1) = w. Donc w = u + v : la famille (u,v,w) est liée, et F = Vect(u,v,w) = Vect(u,v).
Vérifions que (u,v) est libre : a(1;1;0)+b(0;1;1)=(0;0;0) ⟹ (a ; a+b ; b)=(0;0;0) ⟹ a=0, b=0. La famille (u,v) est libre et génératrice de F.
(u,v) est donc une base de F, et dim(F) = 2 : F est un plan vectoriel (passant par l'origine) inclus dans R³.
10 questions · Une seule bonne réponse · Correction immédiate
Tout espace vectoriel contient nécessairement :
F est un sous-espace vectoriel de E si :
F = {(x;y) ∈ R² : y=2x} est :
La famille (u(1;2);v(3;6)) est :
La dimension de R² est :
La famille (u(1;1);v(2;−1)) dans R² est :
Dans R³, la dimension totale de l'espace est :
Dans R³, une famille de 4 vecteurs est nécessairement :
Pour u(1;2;1), v(0;1;−1), w(2;3;3) dans R³, on a :
Le sous-espace F = Vect(u(1;1;0), v(0;1;1)) de R³, avec u et v libres, a pour dimension :
