Objectif Général 2 — Géométrie vectorielle. Lieux géométriques définis par une condition vectorielle ou métrique : médiatrice, cercle, droite.
L'ensemble des points M tels que MA = MB est la médiatrice du segment [AB] (droite perpendiculaire à [AB] passant par son milieu).
L'ensemble des points M tels que MA = r (r > 0 constant) est le cercle de centre A et de rayon r.
A(1 ; 2), B(5 ; 2). Cherchons l'ensemble des points M(x;y) tels que MA = MB, c'est-à-dire MA² = MB².
La médiatrice est la droite d'équation x = 3 (verticale, car A et B ont la même ordonnée, et 3 est bien l'abscisse du milieu de [AB]).
Pour un point A fixé et un vecteur u non nul fixé, l'ensemble des points M tels que AM = k·u (k∈R) est la droite passant par A de vecteur directeur u.
L'ensemble des points M tels que MA · MB = 0 (produit scalaire nul, donc MA ⊥ MB) est le cercle de diamètre [AB] (privé des points A et B), d'après le théorème de l'angle inscrit / réciproque du théorème de Thalès dans le triangle rectangle.
A(0 ; 0), B(4 ; 0). Cherchons l'ensemble des points M(x;y) tels que MA · MB = 0, avec MA = A−M = (−x;−y) et MB = B−M = (4−x;−y).
C'est le cercle de centre (2;0) et de rayon 2, soit exactement le cercle de diamètre [AB] (milieu (2;0), rayon = AB/2 = 2).
Si I est le milieu de [AB], alors pour tout point M :
L'ensemble des points M tels que MA²+MB²=k (k constant) est donc un cercle de centre I (si k > AB²/2), réduit au point I (si k = AB²/2), ou vide (si k < AB²/2).
A(0;0), B(6;0), donc I(3;0) et AB=6. Cherchons l'ensemble MA²+MB²=50.
C'est le cercle de centre I(3;0) et de rayon 4.
A(2 ; −1) et B(2 ; 5). Déterminer l'équation de la médiatrice de [AB].
La médiatrice a pour équation y = 2 (droite horizontale, cohérent car [AB] est vertical et le milieu de [AB] a pour ordonnée (−1+5)/2=2).
Déterminer l'équation cartésienne de l'ensemble des points M tels que MA = 5, où A(1 ; 3).
C'est le cercle de centre A(1;3) et de rayon 5 :
A(−2 ; 0), B(2 ; 0). Déterminer l'ensemble des points M(x;y) tels que MA · MB = 0.
MA=(−2−x;−y), MB=(2−x;−y).
C'est le cercle de centre O(0;0) et de rayon 2 — le cercle de diamètre [AB] (milieu O, rayon = AB/2 = 2).
A(0 ; 0), B(8 ; 0). Déterminer l'ensemble des points M tels que MA² + MB² = 68.
I = milieu de [AB] = (4;0), AB=8.
C'est le cercle de centre I(4;0) et de rayon 3√2.
A(0 ; 0), B(6 ; 0). Montrer que l'ensemble des points M tels que MA² − MB² = 12 est une droite perpendiculaire à (AB), et en donner l'équation.
Pour M(x;y) : MA² = x²+y², MB² = (x−6)²+y².
L'expression 12x−36 est une fonction affine de l'abscisse x de M (elle ne dépend pas de y) : les lignes de niveau sont donc des droites verticales, perpendiculaires à (AB) qui est horizontale.
En posant MA² − MB² = 12 : 12x − 36 = 12 ⟹ 12x = 48 ⟹ x = 4. L'ensemble cherché est la droite d'équation x = 4.
10 questions · Une seule bonne réponse · Correction immédiate
L'ensemble des points M tels que MA = MB est :
L'ensemble des points M tels que MA = r (r>0 constant) est :
Pour A(2 ; −1), B(2 ; 5), l'équation de la médiatrice de [AB] est :
La condition MA · MB = 0 caractérise :
Pour A(−2 ; 0), B(2 ; 0), l'ensemble MA · MB = 0 est :
Dans la formule MA² + MB² = 2MI² + AB²/2, le point I désigne :
Pour A(0 ; 0), B(6 ; 0), l'ensemble MA² + MB² = 50 est :
L'ensemble des points M tels que MA² − MB² = k (k constant, A≠B) est en général :
Pour A(0 ; 0), B(6 ; 0), l'ensemble MA² − MB² = 12 est la droite :
L'ensemble des points M tels que AM = k·u (u fixé non nul, k∈R) décrit :
