Objectif Général 8 — Transformations et géométrie de l'espace. Similitudes planes directes, positions relatives de droites et de plans, aires et volumes des solides usuels.
Une similitude directe du plan, de centre Ω, de rapport k (k > 0) et d'angle θ, associe à tout point M ≠ Ω le point M' tel que ΩM' = k × ΩM et (ΩM⃗, ΩM⃗') = θ [2π]. C'est la composée (commutative, car de même centre) de l'homothétie de centre Ω et de rapport k, et de la rotation de centre Ω et d'angle θ.
Une similitude directe conserve les angles orientés et multiplie toutes les longueurs par k : elle transforme une figure en une figure semblable (même forme, dimensions proportionnelles). Elle multiplie les aires par k².
• Si k = 1 : la similitude est une rotation de centre Ω et d'angle θ (isométrie).
• Si θ ≡ 0 [2π] : la similitude est l'homothétie de centre Ω et de rapport k.
Similitude directe de centre O, de rapport k=2 et d'angle θ=90°. Image de A(3;0) : on applique la rotation de 90° (formule (x;y)→(−y;x)) puis l'homothétie de rapport 2 : (3;0) → (0;3) → (0;6).
Vérification : OA = 3 et OA' = √(0²+6²) = 6 = 2×3 = k×OA ✓. L'angle entre OA (axe des x) et OA' (axe des y) vaut bien 90° = θ ✓.
• Deux droites de l'espace sont coplanaires si elles sont contenues dans un même plan ; sinon elles sont non coplanaires (on dit qu'elles sont gauches).
• Deux droites coplanaires sont soit sécantes (un seul point commun), soit strictement parallèles (aucun point commun), soit confondues.
• Deux plans distincts sont soit sécants (leur intersection est une droite), soit strictement parallèles (aucun point commun).
• Une droite et un plan sont soit sécants (un seul point commun), soit la droite est incluse dans le plan, soit ils sont strictement parallèles (aucun point commun).
Si une droite (d) est parallèle à deux plans sécants (P) et (P'), alors (d) est parallèle à leur droite d'intersection. Si deux plans sont parallèles à un même troisième plan, ils sont parallèles entre eux.
Cube de côté 1, base ABCD (A(0;0;0), B(1;0;0), C(1;1;0), D(0;1;0)) et face supérieure EFGH directement au-dessus (E au-dessus de A, etc.).
• (AB) et (CD) : mêmes plan de base, non sécantes, directions opposées mais colinéaires → strictement parallèles.
• (AB) et (EH) : AB a pour direction (1;0;0) dans le plan z=0 ; EH a pour direction (0;1;0) dans le plan z=1. Ces droites ne sont contenues dans aucun plan commun → gauches (non coplanaires).
• Plan (ABC) [base, z=0] et plan (EFG) [dessus, z=1] : aucun point commun → strictement parallèles.
• Droite (AE) [x=0,y=0] et plan (ABC) [z=0] : se coupent au seul point A(0;0;0) → sécants en A.
| Solide | Volume | Aire totale |
|---|---|---|
| Cube (arête a) | V = a³ | 6a² |
| Pavé droit (a,b,c) | V = abc | 2(ab+bc+ca) |
| Prisme droit (base B, hauteur h) | V = B×h | — |
| Cylindre de révolution (rayon r, hauteur h) | V = πr²h | 2πr(r+h) |
| Pyramide (base B, hauteur h) | V = (1/3)×B×h | — |
| Cône de révolution (rayon r, hauteur h) | V = (1/3)πr²h | — |
| Sphère (rayon r) | V = (4/3)πr³ | 4πr² |
Cône de rayon 3 cm et de hauteur 8 cm : V = (1/3)×π×3²×8 = (1/3)×π×9×8 = 24π ≈ 75,4 cm³.
Sphère de rayon 5 cm : V = (4/3)×π×5³ = (4/3)×π×125 = (500/3)π ≈ 523,6 cm³ ; Aire = 4×π×5² = 100π ≈ 314,2 cm².
Soit la similitude directe de centre O, de rapport k=3 et d'angle θ=180°. Déterminer l'image A' du point A(2;0).
Comme θ=180°=π, cette similitude est équivalente à l'homothétie de centre O et de rapport −k = −3 (rotation de π puis homothétie de rapport k équivaut à une homothétie de rapport −k) :
A'(−6;0). Vérification directe : rotation de 180° de A(2;0) donne (−2;0), puis homothétie de rapport 3 donne (−6;0). ✓
On reprend le cube ABCDEFGH du cours, de côté 1, avec A(0;0;0), B(1;0;0), C(1;1;0), D(0;1;0), E(0;0;1), F(1;0;1), G(1;1;1), H(0;1;1). Préciser la position relative de :
Un cylindre de révolution a pour rayon r=4 cm et pour hauteur h=10 cm. Calculer son volume et son aire totale, en fonction de π puis arrondis au dixième.
V ≈ 502,7 cm³ ; Aire totale ≈ 351,9 cm².
Une similitude directe de centre O transforme le point A(1;0) en A'(0;3). Déterminer son rapport k et son angle θ.
OA = 1 et OA' = √(0²+3²) = 3, donc k = OA'/OA = 3.
Le vecteur OA⃗ pointe selon l'axe des x (angle 0°), le vecteur OA'⃗ pointe selon l'axe des y (angle 90°) : l'angle de la similitude est θ = 90°.
k = 3, θ = 90°.
Un crayon a la forme d'un cylindre de révolution de rayon 4 mm et de hauteur 170 mm, surmonté d'une pointe conique de même rayon et de hauteur 20 mm.
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Une similitude directe de centre Ω, de rapport k et d'angle θ est la composée de :
Si k = 1, une similitude directe de centre Ω et d'angle θ est :
Si θ ≡ 0 [2π], une similitude directe de centre Ω et de rapport k est :
Une similitude directe de rapport k multiplie les aires par :
Deux droites de l'espace non coplanaires sont dites :
Deux plans distincts de l'espace qui ne sont pas parallèles sont nécessairement :
Une droite non incluse dans un plan et sans point commun avec lui est :
Le volume d'une pyramide de base d'aire B et de hauteur h est :
Le volume d'une sphère de rayon r est :
Un cône de révolution de rayon 3 cm et de hauteur 8 cm a pour volume :
