Objectif Général 8 — Transformations et géométrie de l'espace. Translations, symétries (centrale, par rapport à un plan, par rapport à une droite) et homothéties dans l'espace : définitions, propriétés et calculs de coordonnées.
• Translation de vecteur u(a;b;c) : à tout point M(x;y;z) associe le point M' tel que MM⃗' = u, donc M'(x+a ; y+b ; z+c).
• Symétrie centrale de centre O : à tout point M associe le point M' tel que O soit le milieu de [MM'], c'est-à-dire M' = 2O − M.
Ces deux applications ponctuelles de l'espace sont des isométries : elles conservent les distances, l'alignement des points, le parallélisme et l'orthogonalité des droites et des plans, les angles géométriques et les volumes. Elles transforment un plan en un plan parallèle, une sphère en une sphère de même rayon.
Translation de vecteur u(2;−1;3) : l'image de A(1;4;−2) est A'(1+2 ; 4−1 ; −2+3) = A'(3;3;1).
Symétrie centrale de centre O(1;0;−1) : l'image de A(3;2;4) est A' = 2O − A = (2×1−3 ; 2×0−2 ; 2×(−1)−4) = A'(−1;−2;−6).
• Symétrie par rapport à un plan (P) : à tout point M associe le point M' tel que (P) soit le plan médiateur de [MM'] (M' = M si M ∈ (P)), c'est-à-dire (P) perpendiculaire à (MM') en son milieu.
• Symétrie par rapport à une droite (D) (demi-tour d'axe (D)) : si H est le projeté orthogonal de M sur (D), à M associe le point M' tel que H soit le milieu de [MM'] (M' = M si M ∈ (D)).
| Application | Image de M(x;y;z) |
|---|---|
| Symétrie / plan (xOy) | (x ; y ; −z) |
| Symétrie / plan (xOz) | (x ; −y ; z) |
| Symétrie / plan (yOz) | (−x ; y ; z) |
| Symétrie / droite (Ox) | (x ; −y ; −z) |
| Symétrie / droite (Oy) | (−x ; y ; −z) |
| Symétrie / droite (Oz) | (−x ; −y ; z) |
Symétrie par rapport au plan (xOy) : l'image de A(2;5;−3) est A'(2;5;3) (on change le signe de la cote z).
Symétrie par rapport à la droite (Oz) : l'image de B(4;−1;7) est B'(−4;1;7) (on change le signe de x et de y, on garde z).
L'homothétie de centre O et de rapport k (k ∈ ℝ*) associe à tout point M le point M' tel que OM⃗' = k · OM⃗, soit en coordonnées M' = O + k(M − O).
Une homothétie conserve l'alignement, le parallélisme et les rapports de longueurs sur une droite. Elle multiplie les distances par |k|, les aires par k², les volumes par |k|³. Elle transforme une droite (ou un plan) en une droite (ou un plan) parallèle, et une sphère de centre Ω et de rayon r en une sphère de centre l'image de Ω et de rayon |k|×r.
Cas particulier : si k = −1, l'homothétie coïncide avec la symétrie centrale de même centre.
O(0;0;0), k = 2, A(1;2;3) : A' = O + 2(A−O) = A'(2;4;6).
O(1;1;1), k = −3, A(2;0;4) : A' = (1+(−3)(2−1) ; 1+(−3)(0−1) ; 1+(−3)(4−1)) = (1−3 ; 1+3 ; 1−9) = A'(−2;4;−8).
Un cube de volume 8 cm³ a pour image, par une homothétie de rapport k=3, un solide de volume 8×3³ = 216 cm³.
Soit u le vecteur de coordonnées (−3;2;5). Déterminer les coordonnées de l'image A' du point A(4;−1;0) par la translation de vecteur u.
A'(1;1;5).
Déterminer l'image B' du point B(−4;5;7) par la symétrie centrale de centre O(2;−3;1).
O est le milieu de [BB'], donc B' = 2O − B :
B'(8;−11;−5).
Soit C(5;−2;3).
Soit l'homothétie de centre O(0;1;2) et de rapport k = −2. Déterminer l'image M' du point M(4;5;6), puis vérifier que OM' = 2×OM.
M'(−8;−7;−6).
OM = √(4²+4²+4²) = √48 = 4√3. OM' = √(8²+8²+8²) = √192 = 8√3 = 2×4√3 = 2×OM. On retrouve bien OM' = |k|×OM. ✓
On considère les points A(1;2;3) et B(5;2;7). On cherche l'équation du plan (P), plan médiateur de [AB], tel que la symétrie par rapport à (P) transforme A en B.
10 questions · Une seule bonne réponse · Correction immédiate
La translation de vecteur u(a;b;c) associe à M(x;y;z) le point M' de coordonnées :
Dans une symétrie centrale de centre O de l'espace, pour tout point M d'image M' :
L'image de A(3;−1;4) par la translation de vecteur u(−2;5;0) est :
L'image de B(0;6;−2) par la symétrie centrale de centre O(1;1;1) est :
La symétrie par rapport au plan (xOy) transforme (x;y;z) en :
La symétrie par rapport à la droite (Oz) transforme (x;y;z) en :
L'image de C(3;4;−5) par la symétrie par rapport au plan (yOz) est :
Une homothétie de rapport k multiplie les distances par :
L'image de A(2;0;0) par l'homothétie de centre O(0;0;0) et de rapport 3 est :
Une homothétie de rapport k = −1 est équivalente à :
