Objectif Général 1 — Algèbre. Étude du trinôme du second degré : discriminant, racines, forme canonique, signe, et résolution d'équations et inéquations qui s'y ramènent.
Un trinôme du second degré est une expression de la forme f(x) = ax² + bx + c, avec a, b, c réels et a ≠ 0. On appelle discriminant le réel Δ = b² − 4ac.
• Si Δ > 0 : deux racines réelles distinctes x₁ = (−b−√Δ)/(2a) et x₂ = (−b+√Δ)/(2a).
• Si Δ = 0 : une racine double x₀ = −b/(2a).
• Si Δ < 0 : aucune racine réelle.
Résoudre 2x² − 3x − 2 = 0 : a=2, b=−3, c=−2.
Δ > 0 : x₁ = (3−5)/4 = −1/2 et x₂ = (3+5)/4 = 2. Vérification : 2×2²−3×2−2 = 8−6−2 = 0 ✓.
Si x₁ et x₂ sont les racines de ax²+bx+c=0 (Δ ≥ 0), alors :
S = x₁ + x₂ = −b/a et P = x₁ × x₂ = c/a
Pour 2x²−3x−2=0 (racines −1/2 et 2) :
S = −1/2 + 2 = 3/2, et −b/a = 3/2 ✓ P = −1/2 × 2 = −1, et c/a = −2/2 = −1 ✓
Ces relations permettent de calculer des expressions symétriques comme x₁²+x₂² = S² − 2P, sans calculer les racines.
Le trinôme ax²+bx+c a le signe de a partout, sauf éventuellement entre ses racines.
| Signe de Δ | Signe de f(x) |
|---|---|
| Δ < 0 | signe de a pour tout x ∈ R |
| Δ = 0 | signe de a pour tout x ≠ x₀ (nul en x₀) |
| Δ > 0 | signe de a à l'extérieur des racines, signe de −a entre les racines (x₁ < x₂) |
Étudier le signe de f(x) = −x²+4x−3. On factorise : −x²+4x−3 = −(x²−4x+3) = −(x−1)(x−3).
Ici a=−1 < 0. Les racines sont 1 et 3. Donc f(x) > 0 pour x ∈ ]1;3[ (signe de −a) et f(x) < 0 ailleurs.
Une équation de la forme ax⁴ + bx² + c = 0 se résout par le changement de variable X = x² (avec X ≥ 0), qui la transforme en aX² + bX + c = 0.
Résoudre x⁴ − 5x² + 4 = 0. Avec X = x² : X² − 5X + 4 = 0, Δ = 25−16 = 9, X = (5±3)/2, soit X = 4 ou X = 1.
x² = 4 → x = ±2 ; x² = 1 → x = ±1. Solutions : x ∈ {−2 ; −1 ; 1 ; 2}.
Résoudre 2x²−3x−2 ≤ 0 : les racines sont −1/2 et 2 (a=2>0, trinôme négatif entre les racines) donc S = [−1/2 ; 2].
Résoudre dans R :
Étudier le signe de f(x) = −x² + 4x − 3 sur R.
Δ = 16−12 = 4 > 0. Racines : x = (−4±2)/(−2), soit x = 1 et x = 3.
a = −1 < 0, donc f(x) est du signe de a (négatif) à l'extérieur des racines, et du signe opposé (positif) entre elles :
f(x) < 0 sur ]−∞;1[∪]3;+∞[, f(x) = 0 en x=1 et x=3, f(x) > 0 sur ]1;3[.
Résoudre dans R l'inéquation 2x² − 3x − 2 ≤ 0.
On résout d'abord 2x²−3x−2=0 : Δ=9+16=25, x=(3±5)/4, soit x=−1/2 et x=2.
a = 2 > 0 : le trinôme est négatif (ou nul) entre les racines.
Ensemble solution : S = [−1/2 ; 2].
Sans résoudre l'équation 3x² − 7x + 2 = 0, calculer la somme S et le produit P de ses racines, puis en déduire x₁² + x₂².
S = −b/a = 7/3 et P = c/a = 2/3.
x₁² + x₂² = (x₁+x₂)² − 2x₁x₂ = S² − 2P = (7/3)² − 2×(2/3) = 49/9 − 4/3 = 49/9 − 12/9 = 37/9.
1. Résoudre dans R l'équation bicarrée x⁴ − 5x² + 4 = 0.
2. Déterminer les valeurs du réel m pour lesquelles l'équation x² − 2x + m = 0 n'admet aucune solution réelle.
10 questions · Une seule bonne réponse · Correction immédiate
Le discriminant de 2x² − 3x − 2 = 0 vaut :
Les racines de 2x² − 3x − 2 = 0 sont :
Pour ax²+bx+c=0 avec Δ = 0, l'équation admet :
La somme des racines de 3x² − 7x + 2 = 0 vaut :
Le produit des racines de 3x² − 7x + 2 = 0 vaut :
Le trinôme −x² + 4x − 3 est strictement positif pour :
L'équation x² − 2x + 5 = 0 admet :
Les solutions réelles de x⁴ − 5x² + 4 = 0 sont :
L'ensemble solution de 2x² − 3x − 2 ≤ 0 est :
Pour que x² − 2x + m = 0 n'ait aucune solution réelle, il faut que :
