Objectif Général 1 — Algèbre. Résolution de systèmes linéaires par substitution, combinaison et pivot de Gauss ; interprétation graphique et discussion du nombre de solutions.
Un système linéaire de deux équations à deux inconnues s'écrit : { ax + by = c ; a'x + b'y = c' }. Résoudre le système, c'est trouver tous les couples (x;y) qui vérifient simultanément les deux équations.
• Substitution : exprimer une inconnue en fonction de l'autre dans une équation, puis remplacer dans l'autre équation.
• Combinaison linéaire : multiplier les équations par des coefficients pour éliminer une inconnue en les additionnant ou soustrayant.
Résoudre { 2x + 3y = 7 ; x − y = 1 }. De la 2ᵉ équation : x = 1 + y. En remplaçant dans la 1ʳᵉ :
D'où x = 1+1 = 2. Solution : (x;y) = (2;1). Vérification : 2×2+3×1=7 ✓ et 2−1=1 ✓.
Chaque équation du système représente une droite. Résoudre le système revient à chercher les points communs à ces deux droites.
| Position des droites | Nombre de solutions |
|---|---|
| Sécantes (un seul point commun) | solution unique |
| Parallèles distinctes | aucune solution |
| Confondues | infinité de solutions |
Pour { ax+by=c ; a'x+b'y=c' }, on pose D = ab' − a'b. Si D ≠ 0, le système a une unique solution (droites sécantes) donnée par :
x = (cb' − c'b)/D et y = (ac' − a'c)/D
Pour { 2x+3y=7 ; x−y=1 } : D = 2×(−1) − 1×3 = −5 ≠ 0, donc solution unique.
x = (7×(−1) − 1×3)/(−5) = (−10)/(−5) = 2 ; y = (2×1 − 1×7)/(−5) = (−5)/(−5) = 1. On retrouve (2;1).
Pour un système à trois inconnues x, y, z, on utilise des combinaisons linéaires entre les équations pour éliminer successivement des inconnues, jusqu'à obtenir une seule équation à une inconnue, puis on remonte par substitution.
Résoudre { x+y+z=6 ; 2x−y+z=3 ; x+2y−z=2 }.
De la 2ᵉ relation : y = 2z−4. En remplaçant dans 3y+z=9 : 3(2z−4)+z=9 ⟺ 7z=21 ⟺ z=3.
D'où y = 2×3−4 = 2, puis x = 6−y−z = 6−2−3 = 1. Solution : (x;y;z) = (1;2;3). Vérification dans les 3 équations : 1+2+3=6 ✓ ; 2−2+3=3 ✓ ; 1+4−3=2 ✓.
{ x+2y=3 ; 2x+4y=6 } : les coefficients sont proportionnels (1/2 = 2/4 = 3/6), les droites sont confondues : infinité de solutions.
{ x+2y=3 ; 2x+4y=5 } : 1/2 = 2/4 mais 3/5 ≠ 1/2, les droites sont parallèles distinctes : aucune solution.
Résoudre le système { 3x − 2y = 4 ; x + y = 3 }.
De la 2ᵉ équation : x = 3−y. En remplaçant dans la 1ʳᵉ : 3(3−y)−2y=4 ⟺ 9−3y−2y=4 ⟺ 9−5y=4 ⟺ 5y=5 ⟺ y=1.
D'où x = 3−1 = 2. Solution : (x;y) = (2;1). Vérification : 3×2−2×1=4 ✓, 2+1=3 ✓.
Résoudre le système { 2x + y = 5 ; x − y = 1 }.
En additionnant les deux équations membre à membre : (2x+y)+(x−y) = 5+1 ⟺ 3x = 6 ⟺ x = 2.
D'où y = x−1 = 1. Solution : (x;y) = (2;1). Vérification : 2×2+1=5 ✓, 2−1=1 ✓.
On considère le système (S) : { mx + y = 1 ; x + my = 1 }, où m est un paramètre réel.
Résoudre le système { x+y+z=6 ; x−y+z=2 ; x+y−z=0 }.
(1)−(2) : (x+y+z)−(x−y+z) = 6−2 ⟺ 2y = 4 ⟺ y = 2.
(1)−(3) : (x+y+z)−(x+y−z) = 6−0 ⟺ 2z = 6 ⟺ z = 3.
D'où x = 6−y−z = 6−2−3 = 1. Solution : (x;y;z) = (1;2;3).
Vérification : 1−2+3=2 ✓ ; 1+2−3=0 ✓.
Un atelier fabrique des pièces mécaniques de deux types, P1 et P2. Chaque pièce P1 nécessite 3h de tournage et 2h de fraisage ; chaque pièce P2 nécessite 2h de tournage et 4h de fraisage. En une semaine, l'atelier utilise entièrement ses 130h de tournage et 140h de fraisage disponibles.
10 questions · Une seule bonne réponse · Correction immédiate
La solution du système { 3x−2y=4 ; x+y=3 } est :
Le déterminant du système { 2x+3y=7 ; x−y=1 } vaut :
Un système 2×2 admet une infinité de solutions lorsque :
Un système 2×2 n'admet aucune solution lorsque :
Le système { x+2y=3 ; 2x+4y=6 } admet :
Le système { x+2y=3 ; 2x+4y=5 } admet :
La solution du système { x+y+z=6 ; x−y+z=2 ; x+y−z=0 } est (x;y;z) =
Le système { mx+y=1 ; x+my=1 } admet une solution unique si et seulement si :
Un atelier utilise 130h de tournage (3h/pièce P1, 2h/pièce P2) et 140h de fraisage (2h/pièce P1, 4h/pièce P2). Le nombre de pièces P1 fabriquées est :
La méthode du pivot de Gauss consiste à :
