Objectif Général 4 — Trigonométrie et angles orientés. Mesure principale, cercle trigonométrique, relation de Chasles pour les angles, congruence modulo 2π.
Sur le cercle trigonométrique, le sens direct (ou sens trigonométrique) est le sens anti-horaire (inverse des aiguilles d'une montre). Pour deux vecteurs non nuls u et v, l'angle orienté (u,v) admet une infinité de mesures, toutes de la forme θ + 2kπ (k ∈ ℤ), où θ est une mesure particulière. La mesure principale est l'unique mesure appartenant à ]−π ; π].
Un angle orienté a pour mesure 11π/3. On retranche 2π = 6π/3 : 11π/3 − 6π/3 = 5π/3 (encore > π). On retranche encore 2π : 5π/3 − 6π/3 = −π/3, qui appartient à ]−π;π]. Mesure principale = −π/3.
Pour trois vecteurs non nuls u, v, w : (u,v) + (v,w) = (u,w) [2π] (égalité modulo 2π).
Si (u,v) = π/4 [2π] et (v,w) = π/3 [2π], alors (u,w) = π/4+π/3 = 3π/12+4π/12 = 7π/12 [2π].
Pour trouver la mesure principale d'un angle de mesure θ, on cherche l'entier k tel que θ − 2kπ ∈ ]−π ; π], en ajoutant ou en retranchant des multiples de 2π.
θ = 29π/6. On retranche 2×2π = 24π/6 : 29π/6 − 24π/6 = 5π/6, qui appartient bien à ]−π;π] (5π/6 ≈ 2,62 < π ≈ 3,14). Mesure principale = 5π/6.
| Angle | cosinus | sinus |
|---|---|---|
| −x | cos(−x) = cos x | sin(−x) = −sin x |
| π−x | cos(π−x) = −cos x | sin(π−x) = sin x |
| π+x | cos(π+x) = −cos x | sin(π+x) = −sin x |
| π/2−x | cos(π/2−x) = sin x | sin(π/2−x) = cos x |
| π/2+x | cos(π/2+x) = −sin x | sin(π/2+x) = cos x |
Calculer cos(2π/3) et sin(2π/3). On écrit 2π/3 = π−π/3 : cos(2π/3) = −cos(π/3) = −1/2 et sin(2π/3) = sin(π/3) = √3/2.
Déterminer la mesure principale de l'angle de mesure 13π/4.
13π/4 − 2×2π = 13π/4 − 16π/4 = −3π/4, qui appartient à ]−π;π].
Déterminer la mesure principale de l'angle de mesure −17π/6.
−17π/6 + 2π = −17π/6 + 12π/6 = −5π/6, qui appartient à ]−π;π].
Sachant que (u,v) = 2π/5 [2π] et (v,w) = −π/5 [2π], déterminer la mesure principale de (u,w).
(u,w) = (u,v)+(v,w) = 2π/5−π/5 = π/5 [2π], déjà dans ]−π;π].
Calculer cos(5π/6) et sin(5π/6).
5π/6 = π−π/6. cos(5π/6) = −cos(π/6) = −√3/2. sin(5π/6) = sin(π/6) = 1/2.
On sait que (u,v) = 7π/3 [2π] et (v,w) = −3π/4 [2π].
10 questions · Une seule bonne réponse · Correction immédiate
Le sens direct (trigonométrique) sur le cercle trigonométrique correspond au sens :
La mesure principale d'un angle orienté appartient à l'intervalle :
La mesure principale de l'angle 11π/3 est :
La relation de Chasles pour les angles orientés s'écrit :
cos(π−x) est égal à :
sin(π−x) est égal à :
La mesure principale de l'angle 13π/4 est :
cos(2π/3) vaut :
La mesure principale de l'angle −17π/6 est :
cos(π/2−x) est égal à :
