Ch. 19 Mathématiques · 1ère Industrielle (PF)

Intégrales d'une fonction continue

Objectif Général 6 — Statistique, dénombrement et intégrales. Primitives, intégrale d'une fonction continue, propriétés, calcul d'aires.

1. Primitives d'une fonction

Définition

F est une primitive de f sur un intervalle I si F est dérivable sur I et si F′(x) = f(x) pour tout x de I. Si F est une primitive de f, alors toutes les primitives de f sont de la forme F(x) + C, où C est une constante réelle.

Primitives usuelles

Fonction f	Primitive F
xⁿ (n≠−1)	xⁿ⁺¹/(n+1) + C
1/x (x>0)	ln x + C
cos x	sin x + C
sin x	−cos x + C

Exemples résolus

f(x) = 3x²−4x+1 : une primitive est F(x) = x³−2x²+x+C (vérification : F′(x) = 3x²−4x+1 = f(x) ✓).

f(x) = 1/x² = x⁻² : une primitive est F(x) = −1/x + C pour x≠0 (vérification : F′(x) = 1/x² ✓).

2. Intégrale d'une fonction continue sur [a;b]

Définition

Si f est continue sur [a;b] et F une primitive de f, l'intégrale de f entre a et b est ∫ₐᵇ f(x)dx = F(b) − F(a) (formule de Newton-Leibniz).

Exemple résolu

Calculer ∫₁³ (2x+1)dx. Primitive : F(x) = x²+x. F(3)−F(1) = (9+3)−(1+1) = 12−2 = 10.

3. Propriétés de l'intégrale

Propriétés admises

∫ₐᵃ f(x)dx = 0
∫ₐᵇ f(x)dx = −∫ᵇₐ f(x)dx
Relation de Chasles : ∫ₐᵇ f + ∫ᵇᶜ f = ∫ₐᶜ f
Si f ≥ 0 sur [a;b], alors ∫ₐᵇ f(x)dx ≥ 0

Exemple résolu — vérification de Chasles

Avec f(x)=3x² et primitive F(x)=x³ : ∫₀² 3x²dx = 8−0 = 8 et ∫₂⁵ 3x²dx = 125−8 = 117. Somme = 125. Or ∫₀⁵ 3x²dx = 125−0 = 125 ✓ : la relation de Chasles est vérifiée.

4. Calcul d'aires

Méthode

Si f ≥ 0 sur [a;b], l'aire sous la courbe est A = ∫ₐᵇ f(x)dx (en unités d'aire). Si f change de signe, on décompose l'intervalle et on prend la valeur absolue de chaque intégrale partielle.

Exemples résolus

Aire sous f(x)=x² entre 0 et 3 (f≥0) : A = ∫₀³ x²dx = [x³/3]₀³ = 27/3 = 9 unités d'aire.

Aire entre la courbe de f(x)=x et l'axe des abscisses sur [−2;3] (f change de signe en 0) : sur [−2;0], f≤0, aire partielle = ∫₋₂⁰(−x)dx = [−x²/2]₋₂⁰ = 0−(−2) = 2. Sur [0;3], f≥0, aire partielle = ∫₀³ x dx = [x²/2]₀³ = 4,5. Aire totale = 2+4,5 = 6,5.

🧠 À retenir absolument

F′(x)=f(x) ; toute primitive de f s'écrit F(x)+C
∫ₐᵇ f(x)dx = F(b)−F(a) (formule de Newton-Leibniz)
∫ₐᵃf=0 ; ∫ₐᵇf=−∫ᵇₐf ; relation de Chasles ∫ₐᵇf+∫ᵇᶜf=∫ₐᶜf
Si f≥0 sur [a;b], l'aire sous la courbe = ∫ₐᵇf(x)dx
Si f change de signe, décomposer et prendre la valeur absolue de chaque morceau

Recherche d'une primitive

● Facile

Déterminer une primitive de f(x) = 4x³−6x+2 sur ℝ.

✅ Correction

F(x) = x⁴−3x²+2x+C (vérification : F′(x) = 4x³−6x+2 = f(x) ✓).

Calcul d'une intégrale simple

● Facile

Calculer ∫₀² (3x²+1)dx.

✅ Correction

Primitive : F(x) = x³+x. F(2)−F(0) = (8+2)−0 = 10.

Intégrale d'une fonction en 1/x²

● Moyen

Calculer ∫₁⁴ (1/x²)dx.

✅ Correction

Primitive de 1/x² : F(x) = −1/x. F(4)−F(1) = −1/4−(−1) = −0,25+1 = 0,75 = 3/4.

Aire sous une parabole

● Moyen

Calculer l'aire délimitée par la courbe de f(x) = −x²+4 et l'axe des abscisses (entre ses deux racines).

✅ Correction

Racines : −x²+4=0 → x²=4 → x=−2 ou x=2. Sur [−2;2], f≥0.

Primitive : F(x) = −x³/3+4x. F(2) = −8/3+8 = 16/3 ; F(−2) = 8/3−8 = −16/3.

A = F(2)−F(−2) = 16/3−(−16/3) = 32/3 ≈ 10,67 unités d'aire.

Problème de synthèse — aire avec changement de signe

● Difficile

Soit f(x) = 2x−4 sur [0;5] (f s'annule en x=2).

Étudier le signe de f sur [0;5].
Calculer l'aire entre la courbe de f et l'axe des abscisses sur [0;5] (en valeur absolue).
Comparer avec l'intégrale algébrique ∫₀⁵ (2x−4)dx.

✅ Correction

f(x)=2x−4 s'annule en x=2 ; f<0 sur [0;2[, f>0 sur ]2;5].
Sur [0;2] : aire = ∫₀² (4−2x)dx = [4x−x²]₀² = (8−4)−0 = 4. Sur [2;5] : aire = ∫₂⁵ (2x−4)dx = [x²−4x]₂⁵ = (25−20)−(4−8) = 5−(−4) = 9. Aire totale = 4+9 = 13.
∫₀⁵ (2x−4)dx = [x²−4x]₀⁵ = (25−20)−0 = 5. On constate que l'intégrale algébrique (5) est différente de l'aire géométrique (13) : ceci illustre que lorsque f change de signe, l'intégrale «brute» compense les parties positives et négatives, alors que l'aire réelle nécessite de décomposer et de prendre les valeurs absolues.

QCM — Auto-évaluation

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0/10Répondues

Question 1 / 10

Une primitive de f(x) = 3x²−4x+1 est :

Question 2 / 10

∫₁³ (2x+1)dx vaut :

Question 3 / 10

La relation de Chasles pour les intégrales s'écrit :

Question 4 / 10

∫ₐᵃ f(x)dx vaut toujours :

Question 5 / 10

L'aire sous la courbe de f(x)=x² entre 0 et 3 (f≥0) vaut :

Question 6 / 10

Une primitive de 1/x² (x≠0) est :

Question 7 / 10

∫₁⁴ (1/x²)dx vaut :

Question 8 / 10

Si f ≤ 0 sur [a;b], alors ∫ₐᵇ f(x)dx est :

Question 9 / 10

Pour calculer l'aire entre une courbe et l'axe des abscisses quand f change de signe, il faut :

Question 10 / 10

Une primitive de f(x) = 4x³−6x+2 sur ℝ est :