Objectif Général 1 — Algèbre. Opérations sur les polynômes, identités remarquables, factorisation et division euclidienne de polynômes.
Un monôme est une expression de la forme a·xⁿ, où a est un nombre réel (le coefficient) et n un entier naturel (le degré du monôme).
Un polynôme est une somme de monômes. On l'écrit sous forme réduite et ordonnée : P(x) = aₙxⁿ + aₙ₋₁xⁿ⁻¹ + … + a₁x + a₀.
Le degré d'un polynôme non nul est l'exposant le plus élevé dont le coefficient est non nul. Le coefficient de ce terme est appelé coefficient dominant.
P(x) = 5x³ − 2x² + 7 est un polynôme de degré 3, de coefficient dominant 5. Le terme constant est 7.
• On additionne ou soustrait deux polynômes en réduisant les termes de même degré (termes semblables).
• On multiplie deux polynômes en distribuant chaque terme du premier sur chaque terme du second, puis en réduisant.
• Le degré d'une somme est au plus égal au plus grand des deux degrés ; le degré d'un produit est égal à la somme des deux degrés.
Soit P(x) = 2x² − 3x + 5 et Q(x) = x − 1.
(a + b)² = a² + 2ab + b²
(a − b)² = a² − 2ab + b²
(a − b)(a + b) = a² − b²
Factoriser un polynôme, c'est l'écrire sous forme d'un produit de facteurs. On utilise soit la mise en facteur commun, soit les identités remarquables « à l'envers ».
4x² − 9 = (2x)² − 3² = (2x − 3)(2x + 3)
x² + 6x + 9 = x² + 2×x×3 + 3² = (x + 3)²
9x² − 12x + 4 = (3x)² − 2×3x×2 + 2² = (3x − 2)²
Diviser P(x) (dividende) par D(x) (diviseur, non nul) selon la division euclidienne, c'est trouver un quotient Q(x) et un reste R(x) tels que :
P(x) = D(x) × Q(x) + R(x), avec degré(R) < degré(D).
Le reste de la division de P(x) par (x − a) est le nombre R = P(a) (conséquence directe de la relation ci-dessus, car R est alors une constante).
En particulier, a est une racine de P (c'est-à-dire P(a) = 0) si et seulement si (x − a) divise exactement P(x).
Diviser P(x) = 2x³ − 3x² + 4x − 5 par D(x) = x − 2 (division selon les puissances décroissantes) :
Quotient : Q(x) = 2x² + x + 6. Reste : R = 7. On vérifie bien R = P(2) = 2×8 − 3×4 + 4×2 − 5 = 16 − 12 + 8 − 5 = 7.
Développer et réduire les expressions suivantes :
Factoriser complètement les expressions suivantes :
Soit P(x) = 2x² − 3x + 5 et Q(x) = x − 1. Calculer P(x) + Q(x), P(x) − Q(x) et P(x) × Q(x).
Somme :
Différence :
Produit :
Effectuer la division euclidienne de P(x) = 2x³ − 3x² + 4x − 5 par D(x) = x − 2. Donner le quotient et le reste, puis vérifier le résultat à l'aide de P(2).
On effectue la division selon les puissances décroissantes (méthode de l'algorithme de division) :
Quotient : Q(x) = 2x² + x + 6. Reste : R = 7.
Vérification : R doit être égal à P(2). P(2) = 2×2³ − 3×2² + 4×2 − 5 = 16 − 12 + 8 − 5 = 7. Le résultat est confirmé.
On considère le polynôme P(x) = x³ − 6x² + 11x − 6.
10 questions · Une seule bonne réponse · Correction immédiate
Le degré du polynôme P(x) = 5x³ − 2x² + 7 est :
Développer (x + 4)² donne :
Factoriser x² − 16 donne :
Le degré de la somme de deux polynômes de degrés 2 et 5 est, en général :
Le reste de la division euclidienne de P(x) par (x − a) est égal à :
Le coefficient dominant de −3x⁴ + 2x² − x + 8 est :
(2x − 1)(2x + 1) est égal à :
Factoriser 9x² − 1 donne :
Le reste de la division de P(x) = x² − 5x + 6 par (x − 2) est :
Le produit de deux polynômes de degré 2 chacun a pour degré :
