Objectif Général 1 — Algèbre. Résolution d'équations et d'inéquations du premier degré, et mise en équation de problèmes concrets, notamment commerciaux.
Une équation du premier degré à une inconnue x est une équation qui, après réduction, peut s'écrire sous la forme ax + b = 0, avec a ≠ 0.
On isole x en appliquant les mêmes opérations aux deux membres de l'équation :
L'équation admet alors une unique solution : x = −b/a.
Résoudre 3x + 5 = 2x − 7 :
Vérification : 3×(−12)+5 = −31 et 2×(−12)−7 = −31. Les deux membres sont égaux : x = −12 est bien solution.
• En présence de parenthèses, on développe d'abord chaque membre.
• En présence de fractions, on multiplie les deux membres par le plus petit dénominateur commun pour les faire disparaître.
Avec parenthèses : 3(x − 2) + 4 = 2(x + 1)
Avec fractions : (x + 1)/2 − (x − 3)/3 = 1. On multiplie tout par 6 :
Une inéquation du premier degré s'écrit, après réduction, sous l'une des formes ax + b > 0, ax + b ≥ 0, ax + b < 0 ou ax + b ≤ 0. Sa solution est en général un intervalle.
On résout une inéquation comme une équation (additionner, soustraire, multiplier, diviser les deux membres par un même nombre), à une exception près :
Si l'on multiplie ou divise les deux membres par un nombre négatif, le sens de l'inégalité est inversé.
Résoudre 2x − 3 < 5x + 9 :
Solution : S = ]−4 ; +∞[.
Résoudre −2x + 5 ≥ 1 :
Solution : S = ]−∞ ; 2].
Pour résoudre un problème concret : on choisit l'inconnue, on traduit l'énoncé par une équation ou une inéquation, on résout, puis on interprète le résultat dans le contexte (en vérifiant sa cohérence).
Une entreprise produit x objets. Le coût de production est C(x) = 5x + 2000 (en F CFA) et chaque objet est vendu 15 F, donc la recette est R(x) = 15x.
Seuil de rentabilité (le bénéfice est nul quand recette = coût) :
Le bénéfice est B(x) = R(x) − C(x) = 10x − 2000. L'entreprise est bénéficiaire (B(x) > 0) dès que x > 200 objets vendus.
Résoudre dans R les équations suivantes :
Résoudre dans R les équations suivantes :
Résoudre dans R les inéquations suivantes et donner la solution sous forme d'intervalle :
Résoudre dans R l'équation |2x − 3| = 7 (on rappelle que |A| = k, avec k > 0, équivaut à A = k ou A = −k).
|2x − 3| = 7 équivaut à 2x − 3 = 7 ou 2x − 3 = −7.
1er cas : 2x − 3 = 7 ⟺ 2x = 10 ⟺ x = 5.
2ème cas : 2x − 3 = −7 ⟺ 2x = −4 ⟺ x = −2.
Vérification : |2×5−3| = |7| = 7 ✓ et |2×(−2)−3| = |−7| = 7 ✓. Ensemble solution : S = {−2 ; 5}.
Une entreprise fabrique des paniers artisanaux. Le coût de production de x paniers est C(x) = 8x + 3000 (en F CFA). Chaque panier est vendu 20 F.
10 questions · Une seule bonne réponse · Correction immédiate
Résoudre 3x − 5 = 10 :
Résoudre −2x + 8 = 0 :
Résoudre 2(x − 1) = 3x + 4 :
Résoudre l'inéquation x + 3 > 7 :
Résoudre l'inéquation −3x ≥ 12 :
L'ensemble solution de l'inéquation 5x − 2 < 5x + 3 est :
Résoudre |x + 1| = 4 :
Une équation du premier degré ax + b = 0 (avec a ≠ 0) admet :
Si a < 0, l'inégalité ax > b est équivalente à :
Une entreprise a un coût C(x) = 6x + 500 et une recette R(x) = 10x. Le seuil de rentabilité (en unités x) est atteint pour :
