Objectif Général 3 — Dénombrement et suites. Suites arithmétiques et géométriques, terme général, somme des premiers termes.
Une suite numérique (uₙ) est une liste ordonnée de nombres réels, indexée par des entiers naturels n. Le nombre uₙ est appelé terme général (ou terme de rang n) de la suite, et u₀ est son premier terme.
• Forme explicite : uₙ est donné directement en fonction de n, par une formule uₙ = f(n).
• Forme récurrente : on donne le premier terme u₀, puis une relation qui permet de calculer chaque terme à partir du précédent : uₙ₊₁ = f(uₙ).
Explicite : uₙ = 2n + 1. On calcule directement u₀ = 1, u₁ = 3, u₂ = 5, u₃ = 7, sans passer par les termes précédents.
Récurrente : u₀ = 3 et uₙ₊₁ = uₙ + 4. On calcule de proche en proche : u₁ = 3+4 = 7, u₂ = 7+4 = 11, u₃ = 11+4 = 15.
Une suite (uₙ) est arithmétique s'il existe un nombre réel r, appelé raison, tel que pour tout n : uₙ₊₁ = uₙ + r. On passe d'un terme au suivant en ajoutant toujours la même quantité r.
Si (uₙ) est arithmétique de premier terme u₀ et de raison r, alors pour tout n : uₙ = u₀ + n × r
• Si r > 0, la suite est croissante. • Si r < 0, la suite est décroissante. • Si r = 0, la suite est constante.
Une entreprise verse une prime de 50 000 FCFA à un employé la première année (u₀ = 50 000), puis augmente cette prime de 5 000 FCFA chaque année suivante (r = 5 000). C'est une suite arithmétique de raison r = 5 000.
Terme général : uₙ = 50 000 + 5 000n. Prime de la 6ᵉ année (u₅, car u₀ correspond à l'année 1) : u₅ = 50 000 + 5×5 000 = 75 000 FCFA.
Une suite (uₙ), à termes non nuls, est géométrique s'il existe un nombre réel q ≠ 0, appelé raison, tel que pour tout n : uₙ₊₁ = q × uₙ. On passe d'un terme au suivant en multipliant toujours par la même quantité q.
Si (uₙ) est géométrique de premier terme u₀ et de raison q, alors pour tout n : uₙ = u₀ × qⁿ
Pour u₀ > 0 : • Si q > 1, la suite est croissante. • Si 0 < q < 1, la suite est décroissante.
Un capital de 200 000 FCFA est placé à intérêts composés au taux annuel de 8 %. Chaque année, le capital est multiplié par q = 1,08 (u₀ = 200 000).
Terme général : uₙ = 200 000 × 1,08ⁿ. Capital après 3 ans (u₃) : u₃ = 200 000 × 1,08³ = 200 000 × 1,259712 = 251 942,4 FCFA.
La somme des n+1 premiers termes u₀, u₁, …, uₙ d'une suite arithmétique est :
c'est-à-dire : (nombre de termes) × (premier terme + dernier terme) / 2.
La somme des n+1 premiers termes u₀, u₁, …, uₙ d'une suite géométrique de raison q ≠ 1 est :
Arithmétique : reprenons la prime (u₀ = 50 000, r = 5 000). Somme versée sur les 6 premières années (u₀ à u₅, soit 6 termes, avec u₅ = 75 000) :
S = 6 × (50 000 + 75 000) / 2 = 6 × 62 500 = 375 000 FCFA
Géométrique : soit u₀ = 3 et q = 2. Somme des 5 premiers termes (u₀ à u₄) : S = 3 × (1 − 2⁵) / (1 − 2) = 3 × (−31) / (−1) = 93 (on vérifie : 3+6+12+24+48 = 93).
Soit (uₙ) une suite arithmétique de premier terme u₀ = 7 et de raison r = 4.
Soit (uₙ) une suite géométrique de premier terme u₀ = 5 et de raison q = 3.
Un équipement commercial perd chaque année 10 % de sa valeur. Sa valeur initiale est de 800 000 FCFA (u₀).
Une entreprise verse à un stagiaire une indemnité de 20 000 FCFA le premier mois (u₀), puis augmente cette indemnité de 2 000 FCFA chaque mois suivant, pendant 12 mois (de u₀ à u₁₁).
Une entreprise commerciale a réalisé un chiffre d'affaires de 4 000 000 FCFA lors de sa première année d'activité (u₀). Elle prévoit une croissance régulière de 6 % par an : le chiffre d'affaires forme donc une suite géométrique de raison q = 1,06.
Vérification directe : u₀ = 4 000 000 ; u₁ = 4 240 000 ; u₂ = 4 494 400 ; u₃ = 4 764 064. Leur somme donne bien 4 000 000 + 4 240 000 + 4 494 400 + 4 764 064 = 17 498 464 FCFA de chiffre d'affaires cumulé sur les 4 premières années.
10 questions · Une seule bonne réponse · Correction immédiate
Une suite (uₙ) est arithmétique de raison r si, pour tout n :
Le terme général d'une suite arithmétique de premier terme u₀ et de raison r est :
Soit (uₙ) arithmétique avec u₀ = 3 et r = 5. Que vaut u₂ ?
Une suite (uₙ) est géométrique de raison q si, pour tout n :
Le terme général d'une suite géométrique de premier terme u₀ et de raison q est :
Soit (uₙ) géométrique avec u₀ = 2 et q = 3. Que vaut u₃ ?
Une suite géométrique de raison q, avec 0 < q < 1 et u₀ > 0, est :
Une suite arithmétique de raison r < 0 est :
La somme des n+1 premiers termes (u₀ à uₙ) d'une suite arithmétique est :
La somme des n+1 premiers termes (u₀ à uₙ) d'une suite géométrique de raison q ≠ 1 est :
