Objectif Général 3 — Dénombrement et suites. Principes additif et multiplicatif, arrangements et combinaisons simples.
Le cardinal d'un ensemble fini E, noté Card(E), est le nombre d'éléments que contient E.
Si A et B sont deux ensembles disjoints (A∩B = ∅), alors : Card(A∪B) = Card(A) + Card(B)
Plus généralement, que A et B soient disjoints ou non : Card(A∪B) = Card(A) + Card(B) − Card(A∩B)
Dans un lycée de 50 élèves, 18 étudient l'espagnol, 15 étudient l'allemand, et 5 étudient les deux langues à la fois. Combien d'élèves étudient l'espagnol ou l'allemand ?
Card(Esp∪All) = Card(Esp) + Card(All) − Card(Esp∩All) = 18 + 15 − 5 = 28 élèves.
Une p-liste (ou liste de longueur p) d'un ensemble E est une suite ordonnée de p éléments de E, la répétition d'un même élément étant autorisée.
Si une situation se décompose en p choix successifs et indépendants, offrant respectivement n₁, n₂, …, nₚ possibilités, alors le nombre total de façons de procéder est :
n₁ × n₂ × … × nₚ
Tenue vestimentaire : un vendeur possède 2 pantalons et 3 chemises. Nombre de tenues possibles (1 pantalon + 1 chemise) : 2 × 3 = 6 tenues.
Mot de passe : un mot de passe est composé de 2 lettres (parmi 26) suivies de 3 chiffres (parmi 10, avec répétition possible). Nombre total de mots de passe : 26 × 26 × 10 × 10 × 10 = 676 000.
Pour tout entier naturel n non nul : n! = n × (n−1) × (n−2) × … × 2 × 1. Par convention, 0! = 1.
Une permutation de n éléments distincts est une façon de les ranger tous, dans un ordre donné. Le nombre de permutations d'un ensemble à n éléments est n!.
Un arrangement de p éléments parmi n (avec n ≥ p) est un choix ordonné et sans répétition de p éléments pris parmi n. Le nombre d'arrangements est noté A(n,p) :
(produit des p entiers décroissants à partir de n)
Un directeur veut établir le classement des 3 premiers (1ᵉʳ, 2ᵉ, 3ᵉ, chacun recevant un prix différent) parmi 8 vendeurs. Le classement est un arrangement, car l'ordre compte :
A(8,3) = 8 × 7 × 6 = 336 classements possibles.
Une combinaison de p éléments parmi n est un choix non ordonné et sans répétition de p éléments pris parmi n (c'est-à-dire un sous-ensemble à p éléments). Le nombre de combinaisons est noté C(n,p) :
| Situation | L'ordre compte-t-il ? | Formule |
|---|---|---|
| Arrangement | Oui (rôles différents) | A(n,p) = n!/(n−p)! |
| Combinaison | Non (rôles identiques) | C(n,p) = n!/(p!(n−p)!) |
Une entreprise veut former un comité de 3 employés parmi 10 candidats, les 3 membres ayant le même rôle (l'ordre ne compte pas) : c'est une combinaison.
C(10,3) = 10! / (3! × 7!) = (10 × 9 × 8) / (3 × 2 × 1) = 720 / 6 = 120 comités possibles.
Si au contraire les 3 postes étaient distincts (président, secrétaire, trésorier), on aurait utilisé un arrangement : A(10,3) = 10×9×8 = 720.
Un restaurant propose un menu composé d'une entrée (3 choix), d'un plat (4 choix) et d'un dessert (2 choix). Combien de menus différents un client peut-il composer ?
Il s'agit de 3 choix successifs et indépendants : entrée (3 possibilités), plat (4 possibilités), dessert (2 possibilités). D'après le principe multiplicatif :
3 × 4 × 2 = 24
Le client peut composer 24 menus différents.
Dans une classe de 30 élèves, 12 pratiquent le football et 10 pratiquent le basketball. Aucun élève ne pratique les deux sports à la fois.
Un directeur commercial souhaite établir le classement des 3 meilleurs vendeurs du mois parmi 8 vendeurs de l'entreprise (1er, 2e et 3e reçoivent chacun un prix différent). Combien de classements différents sont possibles ?
Les 3 places (1er, 2e, 3e) correspondent à des prix différents : l'ordre compte. Il s'agit donc d'un arrangement de 3 vendeurs parmi 8 :
A(8,3) = 8 × 7 × 6 = 336
Il existe 336 classements possibles.
Une entreprise veut former un comité de 3 employés parmi 10 candidats pour représenter le personnel. Les 3 membres du comité ont le même rôle (l'ordre n'a pas d'importance). Combien de comités différents peut-on former ?
Les 3 membres ont le même rôle : l'ordre ne compte pas. Il s'agit donc d'une combinaison de 3 employés parmi 10 :
C(10,3) = 10! / (3! × 7!) = (10 × 9 × 8) / (3 × 2 × 1) = 720 / 6 = 120
On peut former 120 comités différents.
Une entreprise dispose de 6 commerciaux hommes et 4 commerciales femmes, soit 10 personnes au total. On souhaite former une équipe de 3 personnes.
C(10,3) = (10 × 9 × 8) / (3 × 2 × 1) = 120 équipes possibles.
C(6,2) × C(4,1) = 15 × 4 = 60 équipes possibles (avec C(6,2) = (6×5)/(2×1) = 15).
Le nombre d'équipes avec au moins 1 femme est donc le total moins celles sans femme :
120 − 20 = 100 équipes possibles.
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Un code de vestiaire est composé d'un chiffre (parmi 10) suivi d'une lettre (parmi 5 lettres). Combien de codes différents peut-on créer ?
Combien vaut 4! ?
Par convention, 0! est égal à :
La formule du nombre d'arrangements A(n,p) est :
La formule du nombre de combinaisons C(n,p) est :
Si A et B sont deux ensembles disjoints (A∩B = ∅), alors Card(A∪B) est égal à :
La principale différence entre un arrangement et une combinaison est que :
Combien de façons y a-t-il de choisir 2 délégués (même rôle) parmi 5 élèves ?
Combien de façons y a-t-il de classer un 1er et un 2e (rôles différents) parmi 5 coureurs ?
La formule générale (cas disjoint ou non) du cardinal de la réunion de deux ensembles A et B est :
