Ch.08 — Équations d'une droite — 2nde A Mathématiques — Bibliothèque Numérique by Edutech Congo

1. Pente (coefficient directeur)

Définition

La pente (ou coefficient directeur) d'une droite passant par A(xA;yA) et B(xB;yB) est :

m = (yB − yA) / (xB − xA) (si xA ≠ xB)

Une droite verticale (xA = xB) n'a pas de pente.

2. Formes d'équation d'une droite

Forme réduite : y = mx + b

m = pente, b = ordonnée à l'origine. Utile pour tracer rapidement la droite.

Droite horizontale : y = b (pente = 0). Droite verticale : x = a (pas de forme réduite).

Forme cartésienne : ax + by + c = 0

Toute droite peut s'écrire sous cette forme. Pour obtenir m et b, on isole y.

Construire l'équation d'une droite

Méthode 1 : si on connaît m et un point A(xA;yA) :

y − yA = m(x − xA) → développer pour obtenir y = mx + b.

Méthode 2 : si on connaît deux points :

Calculer m d'abord, puis appliquer la méthode 1.

Exemple complet

Droite par A(1;3) et B(3;7). m=(7−3)/(3−1)=2. y−3=2(x−1) → y=2x+1.

3. Droites parallèles et perpendiculaires

Propriétés

Deux droites de pentes m₁ et m₂ sont :

• Parallèles ⟺ m₁ = m₂

• Perpendiculaires ⟺ m₁ × m₂ = −1

Exemples

Droite de pente 3 → perpendiculaire de pente −1/3.

y=2x+5 et y=2x−3 : mêmes pentes → parallèles.

4. Point d'intersection de deux droites

Méthode

Résoudre le système formé par les deux équations. La solution (x;y) est le point d'intersection.

Exemple

y=2x+1 et y=−x+4. Égaler : 2x+1=−x+4 → 3x=3 → x=1, y=3. Intersection : (1;3).

🧠 À retenir absolument

Pente m = (yB−yA)/(xB−xA)
Droite par A de pente m : y−yA = m(x−xA)
Parallèles : m₁=m₂ ; Perpendiculaires : m₁×m₂=−1
Intersection : résoudre le système des deux équations

Calcul de la pente

● Facile

Droite par A(2;5) et B(6;13).
Droite par C(−1;4) et D(3;−4).
Droite par E(0;0) et F(5;10).

✅ Correction

m=(13−5)/(6−2)=8/4=2
m=(−4−4)/(3−(−1))=−8/4=−2
m=(10−0)/(5−0)=2

Équation d'une droite

● Facile

Droite passant par A(0;4) de pente m=−2.
Droite passant par B(1;3) et C(4;9).
Droite passant par D(2;5) et parallèle à y=3x−1.

✅ Correction

b=4, m=−2 → y=−2x+4.
m=(9−3)/(4−1)=2. y−3=2(x−1) → y=2x+1.
Parallèle → même pente m=3. y−5=3(x−2) → y=3x−1. (Même droite !)

Parallèles et perpendiculaires

● Moyen

Droite perpendiculaire à y=4x+1 passant par A(0;3).
Droite parallèle à y=−x+2 passant par B(3;1).

✅ Correction

m₁=4, m₂=−1/4. Passe par A(0;3) : y=−x/4+3.
m=−1. Passe par B(3;1) : y−1=−(x−3) → y=−x+4.

Point d'intersection

● Moyen

y=3x−1 et y=−x+7
y=2x+4 et y=2x−1 (que constatez-vous ?)

✅ Correction

3x−1=−x+7 → 4x=8 → x=2, y=5. Intersection : (2;5).
2x+4=2x−1 → 4=−1 : impossible. Pas d'intersection : droites parallèles.

Problème — Géographie

● Difficile

Sur une carte, un chemin suit la droite passant par P(1;2) et Q(5;10). Une route suit la droite passant par R(0;5) et S(4;−3).

Trouver l'équation du chemin PQ.
Trouver l'équation de la route RS.
Trouver le point de croisement.
Les deux voies sont-elles perpendiculaires ?

✅ Correction

m=(10−2)/(5−1)=2. y−2=2(x−1) → y=2x.
m=(−3−5)/(4−0)=−2. b=5. y=−2x+5.
2x=−2x+5 → 4x=5 → x=5/4, y=5/2. Croisement : (5/4 ; 5/2).
m₁×m₂=2×(−2)=−4 ≠ −1. Non perpendiculaires.

QCM — Auto-évaluation

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0/10Répondues

Question 1 / 10

La pente de la droite passant par (0;0) et (3;6) est :

Question 2 / 10

L'équation y=−3x+2 a une pente de :

Question 3 / 10

Deux droites y=5x+1 et y=5x−3 sont :

Question 4 / 10

La perpendiculaire à y=2x+1 a une pente de :

Question 5 / 10

La droite passant par (0;3) et de pente 2 est :

Question 6 / 10

Intersection de y=x+2 et y=−x+4 :

Question 7 / 10

La pente de la droite x=5 est :

Question 8 / 10

Droite par A(2;1) de pente 3 :

Question 9 / 10

La droite y=4 a une pente de :

Question 10 / 10

Si m₁×m₂=−1, les droites sont :