Ch.09 — Triangle rectangle — Pythagore et trigonométrie — 2nde A Mathématiques

1. Théorème de Pythagore

Énoncé et réciproque

Dans un triangle rectangle en A, l'hypoténuse BC vérifie :

BC² = AB² + AC²

Réciproque : si BC² = AB² + AC², le triangle est rectangle en A.

Exemples de triplets pythagoriciens

• (3, 4, 5) : 3²+4²=25=5² ✅

• (5, 12, 13) : 25+144=169=13² ✅

• (8, 15, 17) : 64+225=289=17² ✅

2. Trigonométrie dans le triangle rectangle

Définitions des ratios trigonométriques

Dans un triangle rectangle en A, pour l'angle aigu B :

cos B = côté adjacent / hypoténuse = BA / BC

sin B = côté opposé / hypoténuse = AC / BC

tan B = côté opposé / côté adjacent = AC / BA

Valeurs à connaître

Angle	sin	cos	tan
30°	0,5	≈0,866	≈0,577
45°	≈0,707	≈0,707	1
60°	≈0,866	0,5	≈1,732

3. Calculer longueurs et angles

Méthode — Calculer un côté inconnu

1. Identifier l'angle dont on connaît la mesure

2. Repérer le côté inconnu (adjacent, opposé ou hypoténuse)

3. Choisir la formule appropriée (sin, cos ou tan)

4. Résoudre l'équation

Exemple — Calculer un côté

ABC rectangle en A, angle B=35°, BC=10 cm. Calculer AC.

sin B = AC/BC → AC = BC × sin B = 10 × sin 35° ≈ 10 × 0,574 ≈ 5,74 cm.

Méthode — Calculer un angle

On calcule le ratio (sin, cos ou tan), puis on utilise la fonction inverse :

B = arcsin(opposé/hypoténuse) ou arccos ou arctan.

Exemple — Calculer un angle

ABC rectangle en A, AB=6, BC=10. cos B = AB/BC = 6/10 = 0,6. B = arccos(0,6) ≈ 53,1°.

🧠 À retenir absolument

Pythagore : hypoténuse² = jambe₁² + jambe₂²
sin = opposé/hypoténuse ; cos = adjacent/hypoténuse ; tan = opposé/adjacent
Moyen mnémotechnique : SOH CAH TOA
Pour calculer un angle : arcsin, arccos ou arctan
Dans un triangle rectangle, les deux angles aigus sont complémentaires (somme = 90°)

Pythagore — Calculer un côté

● Facile

Triangle rectangle en A, AB=8, AC=6. Calculer BC.
Triangle rectangle en C, AC=5, BC=13. Calculer AB.
Vérifier que le triangle de côtés 20, 21, 29 est rectangle.

✅ Correction

BC²=64+36=100. BC=10 cm.
AB²=BC²−AC²=169−25=144. AB=12 cm.
29²=841. 20²+21²=400+441=841 ✅. Oui, rectangle (hypoténuse=29).

Calcul trigonométrique d'un côté

● Facile

Triangle ABC rectangle en A :

B=40°, BC=15 cm. Calculer AC (opposé à B) et AB (adjacent à B).
C=55°, BC=20 cm. Calculer AB et AC.

✅ Correction

AC=BC×sin40°≈15×0,643≈9,64 cm. AB=BC×cos40°≈15×0,766≈11,49 cm.
AB=BC×sin55°≈20×0,819≈16,38 cm. AC=BC×cos55°≈20×0,574≈11,47 cm.

Calcul d'un angle

● Moyen

Triangle rectangle en A :

AB=5, BC=8. Calculer l'angle B.
AC=7, AB=7. Calculer l'angle B (triangle isocèle rectangle).

✅ Correction

cosB=AB/BC=5/8=0,625. B=arccos(0,625)≈51,3°. Angle C=90°−51,3°=38,7°.
tan B=AC/AB=7/7=1. B=arctan(1)=45°. (Triangle isocèle rectangle ✅)

Application — Hauteur d'un bâtiment

● Moyen

Du pied d'un bâtiment, on mesure un angle d'élévation de 60° vers le sommet. On est à 20 m du bâtiment.

Faire un schéma et identifier le triangle rectangle.
Calculer la hauteur h du bâtiment.

✅ Correction

Triangle rectangle avec angle=60°, côté adjacent=20 m, côté opposé=h.
tan60°=h/20 → h=20×tan60°=20×√3≈20×1,732≈34,64 m.

Problème — Navigation

● Difficile

Un bateau part du port O. Il navigue 30 km vers le Nord, puis 40 km vers l'Est pour arriver au point A.

Calculer la distance OA (en ligne droite).
Calculer l'angle α que fait la route directe OA avec le Nord.
Si le bateau revient directement de A à O, quelle distance parcourt-il ?

✅ Correction

OA²=30²+40²=900+1600=2500. OA=50 km.
tan α=40/30=4/3≈1,333. α=arctan(4/3)≈53,1° vers l'Est par rapport au Nord.
La distance du retour est la même : 50 km.

QCM — Auto-évaluation

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Question 1 / 10

Dans un triangle rectangle, l'hypoténuse est :

Question 2 / 10

Pythagore dans le triangle rectangle en C : a²+b²=c². Ici c est :

Question 3 / 10

sin B = :

Question 4 / 10

Triangle rectangle en A, AB=6, BC=10. cos B vaut :

Question 5 / 10

tan 45° est égal à :

Question 6 / 10

Dans un triangle rectangle, les deux angles aigus :

Question 7 / 10

BC=10, angle B=30°. AC (opposé à B) vaut :

Question 8 / 10

Le triplet (6,8,10) est pythagoricien car :

Question 9 / 10

arccos(0,5) vaut :

Question 10 / 10

Si tanB=1, l'angle B vaut :