Objectif Général 1 — Distinguer les nombres rationnels et irrationnels, et connaître les sous-ensembles bornés de ℝ (majorant, minorant, maximum, minimum).
Un nombre rationnel est un nombre qui peut s'écrire sous la forme d'une fraction p/q avec p ∈ ℤ et q ∈ ℤ* (q ≠ 0). L'ensemble des rationnels se note ℚ.
Un nombre irrationnel est un réel qui ne peut pas s'écrire sous cette forme : son écriture décimale est infinie et non périodique.
• Un nombre est rationnel si et seulement si son écriture décimale est finie ou périodique.
• Un nombre est irrationnel si son écriture décimale est infinie et non périodique.
Rationnels : 3/4 = 0,75 (fini) ; 1/3 = 0,333… (périodique) ; −5 = −5/1 ; 0,25
Irrationnels : √2 = 1,41421356… ; π = 3,14159265… ; √3 ; le nombre d'or φ
Soit A une partie non vide de ℝ.
• Un réel M est un majorant de A si ∀ x ∈ A, x ≤ M
• Un réel m est un minorant de A si ∀ x ∈ A, x ≥ m
Si A possède au moins un majorant, on dit que A est majorée. De même pour minorée. Si A est à la fois majorée et minorée, A est dite bornée.
Pour A = [2 ; 7[ : 7, 8, 10 sont des majorants de A. 2, 1, 0 sont des minorants de A. A est bornée.
Pour A = ℕ : A est minorée par 0 mais n'est pas majorée (aucun réel ne majore tous les entiers naturels).
• Le maximum de A, noté max(A), est un majorant de A qui appartient à A.
• Le minimum de A, noté min(A), est un minorant de A qui appartient à A.
Un ensemble n'a pas toujours de maximum ou de minimum, même s'il est borné !
| Ensemble | Majorants | Minorants | Max | Min |
|---|---|---|---|---|
| [2 ; 7] | tout M ≥ 7 | tout m ≤ 2 | 7 | 2 |
| [2 ; 7[ | tout M ≥ 7 | tout m ≤ 2 | n'existe pas | 2 |
| ]−∞ ; 5] | tout M ≥ 5 | aucun | 5 | n'existe pas |
| ℕ | aucun | tout m ≤ 0 | n'existe pas | 0 |
A = [2 ; 7[ n'a pas de maximum : 7 est un majorant mais 7 ∉ A. Cependant tout majorant plus petit que 7 n'existe pas, donc 7 est le plus petit des majorants (on l'appelle borne supérieure, hors programme ici).
Classer chaque nombre dans ℚ ou dans ℝ\ℚ :
Pour A = ]−3 ; 6], donner :
Pour chacun des ensembles suivants, déterminer s'ils admettent un maximum et/ou un minimum :
On admet que si n n'est pas un carré parfait, √n est irrationnel.
Soit A = { 1/n , n ∈ ℕ* } = {1, 1/2, 1/3, 1/4, …}.
10 questions · Une seule bonne réponse · Correction immédiate
Lequel de ces nombres est irrationnel ?
Un nombre rationnel a toujours une écriture décimale :
Pour A = [1 ; 5[, lequel est un majorant de A ?
Un ensemble est dit borné si :
Pour B = ]2 ; 8], quel est le maximum de B ?
Pour C = ]2 ; 8[, quel est le minimum de C ?
ℕ (les entiers naturels) est-il majoré ?
0,777… (7 périodique) est :
Un minorant m d'un ensemble A vérifie :
√25 appartient à :
