Ch. 02 Mathématiques · 2nde C

Propriétés de l'ordre et valeur absolue dans ℝ

Objectif Général 1 — Identifier les propriétés et règles de l'ordre et de la valeur absolue dans ℝ.

1. Relation d'ordre dans ℝ

Définition

La relation ≤ est une relation d'ordre total sur ℝ. Elle vérifie :

Réflexivité : ∀ x ∈ ℝ, x ≤ x

Antisymétrie : si x ≤ y et y ≤ x, alors x = y

Transitivité : si x ≤ y et y ≤ z, alors x ≤ z

Totalité : ∀ x, y ∈ ℝ, on a toujours x ≤ y ou y ≤ x

Propriétés et opérations

Si a ≤ b, alors :

• Addition : a + c ≤ b + c pour tout c ∈ ℝ

• Multiplication par c > 0 : ac ≤ bc (le sens est conservé)

• Multiplication par c < 0 : ac ≥ bc (le sens s'inverse !)

• Passage à l'inverse : si a et b sont de même signe et a ≤ b, alors 1/a ≥ 1/b

Exemple

On a 2 ≤ 5. En multipliant par −3 (négatif) : −6 ≥ −15. Le sens s'inverse.

On a −4 ≤ −1. En ajoutant 7 : 3 ≤ 6. Le sens est conservé.

2. Valeur absolue

Définition

La valeur absolue d'un réel x, notée |x|, est définie par :

|x| = x si x \geq 0 |x| = -x si x < 0

Géométriquement, |x| représente la distance de x à l'origine 0 sur la droite réelle.

Propriétés fondamentales

Pour tous réels x et y :

• |x| ≥ 0 et |x| = 0 ⟺ x = 0

• |−x| = |x|

• |x · y| = |x| · |y|

• |x/y| = |x|/|y| (y ≠ 0)

• |x + y| ≤ |x| + |y| (inégalité triangulaire)

• √(x²) = |x|

Distance entre deux points

La distance entre deux réels a et b est : d(a, b) = |b − a| = |a − b|

Exemples de calcul

• |−5| = 5 • |3| = 3 • |−7 + 3| = |−4| = 4

• d(−2, 6) = |6 − (−2)| = |8| = 8

• |3 · (−4)| = |3| · |−4| = 3 · 4 = 12

3. Inégalités avec valeur absolue

Propriétés clés — à connaître absolument

Soit a > 0 et x ∈ ℝ :

• |x| ≤ a ⟺ −a ≤ x ≤ a (intervalle fermé)

• |x| < a ⟺ −a < x < a (intervalle ouvert)

• |x| ≥ a ⟺ x ≤ −a ou x ≥ a (réunion)

• |x| > a ⟺ x < −a ou x > a (réunion)

Résolution d'inéquations

|x − 3| ≤ 2 ⟺ −2 ≤ x − 3 ≤ 2 ⟺ 1 ≤ x ≤ 5. Solution : [1 ; 5]

|2x + 1| > 3 ⟺ 2x+1 < −3 ou 2x+1 > 3 ⟺ x < −2 ou x > 1. Solution : ]−∞;−2[ ∪ ]1;+∞[

Inéquation	Équivalence	Solution
\|x\| ≤ 3	−3 ≤ x ≤ 3	[−3 ; 3]
\|x − 1\| < 2	−1 < x < 3	]−1 ; 3[
\|x + 4\| ≥ 5	x ≤ −9 ou x ≥ 1	]−∞;−9] ∪ [1;+∞[
\|3x\| > 6	x < −2 ou x > 2	]−∞;−2[ ∪ ]2;+∞[

🧠 À retenir absolument

Multiplier ou diviser une inégalité par un nombre négatif inverse le sens
|x| = distance de x à 0 ; |a − b| = distance de a à b
|x| ≤ a ⟺ −a ≤ x ≤ a (encadrement)
|x| ≥ a ⟺ x ≤ −a ou x ≥ a (réunion de deux intervalles)
√(x²) = |x|, pas x (peut être négatif !)
Inégalité triangulaire : |a + b| ≤ |a| + |b|

Calculs de valeurs absolues

● Facile

Calculer les expressions suivantes :

|−8|
|7 − 12|
|−3 + 3|
|2 · (−5)|
d(−4 ; 7) = |7 − (−4)|
√(49) en utilisant |x|

✅ Correction

|−8| = 8
|7 − 12| = |−5| = 5
|−3 + 3| = |0| = 0
|2 · (−5)| = |−10| = 10
d(−4 ; 7) = |7 + 4| = |11| = 11
√49 = √(7²) = |7| = 7

Résolution d'inéquations simples

● Facile

Résoudre dans ℝ et donner la solution sous forme d'intervalle :

|x| ≤ 4
|x| > 2
|x − 5| < 3
|x + 2| ≥ 6

✅ Correction

|x| ≤ 4 ⟺ −4 ≤ x ≤ 4. Solution : [−4 ; 4]
|x| > 2 ⟺ x < −2 ou x > 2. Solution : ]−∞ ; −2[ ∪ ]2 ; +∞[
|x−5| < 3 ⟺ −3 < x−5 < 3 ⟺ 2 < x < 8. Solution : ]2 ; 8[
|x+2| ≥ 6 ⟺ x+2 ≤ −6 ou x+2 ≥ 6 ⟺ x ≤ −8 ou x ≥ 4. Solution : ]−∞ ; −8] ∪ [4 ; +∞[

Inégalités et opérations

● Moyen

On donne a = −3 et b = 5.

Vérifier que a < b.
Calculer et comparer −2a et −2b. Le sens de l'inégalité change-t-il ?
Comparer 1/a et 1/b.
Calculer |a − b| et |b − a|. Que constate-t-on ?

✅ Correction

−3 < 5 ✅
−2a = −2×(−3) = 6 et −2b = −2×5 = −10. Donc −2a > −2b, soit 6 > −10. Oui, le sens s'inverse (multiplication par −2 < 0).
1/a = 1/(−3) = −1/3 et 1/b = 1/5. Comme −1/3 < 1/5, on a 1/a < 1/b. Ici a et b ne sont pas de même signe, le passage à l'inverse donne 1/a < 1/b (même sens).
|a−b| = |−3−5| = |−8| = 8 et |b−a| = |5−(−3)| = |8| = 8. |a−b| = |b−a| : la distance est symétrique.

Inéquations avec expression dans la valeur absolue

● Moyen

Résoudre dans ℝ :

|2x − 3| ≤ 5
|3x + 6| > 9
|x/2 − 1| < 2

✅ Correction

|2x−3| ≤ 5 ⟺ −5 ≤ 2x−3 ≤ 5 ⟺ −2 ≤ 2x ≤ 8 ⟺ −1 ≤ x ≤ 4. Solution : [−1 ; 4]
|3x+6| > 9 ⟺ 3x+6 < −9 ou 3x+6 > 9 ⟺ 3x < −15 ou 3x > 3 ⟺ x < −5 ou x > 1. Solution : ]−∞;−5[ ∪ ]1;+∞[
|x/2−1| < 2 ⟺ −2 < x/2−1 < 2 ⟺ −1 < x/2 < 3 ⟺ −2 < x < 6. Solution : ]−2 ; 6[

Problème — Distance et encadrement

● Difficile

Un thermomètre indique une température de 20°C avec une marge d'erreur de ±2°C.

Traduire cette information par une inégalité avec valeur absolue (t = température réelle).
Résoudre cette inéquation et donner l'intervalle possible pour t.
Un autre appareil indique |t − 18| ≤ 1. Ces deux appareils sont-ils compatibles ? (trouver l'intersection des solutions)

✅ Correction

L'erreur est au plus 2°C : |t − 20| ≤ 2
|t−20| ≤ 2 ⟺ −2 ≤ t−20 ≤ 2 ⟺ 18 ≤ t ≤ 22. Intervalle : [18 ; 22]
|t−18| ≤ 1 ⟺ 17 ≤ t ≤ 19. Intersection : [18;22] ∩ [17;19] = [18 ; 19]. Les deux sont compatibles car l'intersection est non vide.

QCM — Auto-évaluation

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0/10Répondues

Question 1 / 10

Quelle est la valeur de |−13| ?

Question 2 / 10

Si a < b et on multiplie par −2, que devient l'inégalité ?

Question 3 / 10

|x| ≤ 5 est équivalent à :

Question 4 / 10

La distance entre −3 et 7 sur la droite réelle est :

Question 5 / 10

|x + 1| > 3 a pour solution :

Question 6 / 10

√(x²) est égal à :

Question 7 / 10

L'inégalité triangulaire affirme que :

Question 8 / 10

Si a < 0 et b > 0, alors :

Question 9 / 10

La solution de |2x| < 8 est :

Question 10 / 10

Si on ajoute le même nombre c aux deux membres d'une inégalité a ≤ b :