Ch. 04 Mathématiques · 2nde C

Équations et inéquations du 1er et 2nd degré

Objectif Général 2 — Résoudre équations, inéquations et systèmes : 1er degré avec valeur absolue, 2nd degré, équations irrationnelles.

1. Équations du 2nd degré

Forme générale

Une équation du 2nd degré a la forme : ax² + bx + c = 0 avec a ≠ 0

Le discriminant est : Δ = b² − 4ac

Résolution selon le signe de Δ

• Si Δ > 0 : deux solutions réelles distinctes : x₁ = (−b − √Δ)/(2a) et x₂ = (−b + √Δ)/(2a)

• Si Δ = 0 : une solution double : x₀ = −b/(2a)

• Si Δ < 0 : pas de solution réelle

Relations de Viète

Si x₁ et x₂ sont les racines : x₁ + x₂ = −b/a et x₁ · x₂ = c/a

Factorisation : ax² + bx + c = a(x − x₁)(x − x₂)

Exemple complet

Résoudre : 2x² − 5x + 3 = 0

a = 2, b = −5, c = 3. Δ = (−5)² − 4·2·3 = 25 − 24 = 1 > 0

x₁ = (5 − 1)/4 = 1 et x₂ = (5 + 1)/4 = 3/2. Solutions : S = {1 ; 3/2}

2. Signe du trinôme du 2nd degré

Règle du signe de ax² + bx + c

Cas	Signe de ax²+bx+c
Δ < 0	Même signe que a sur ℝ entier
Δ = 0, racine x₀	Même signe que a sauf en x₀ où il vaut 0
Δ > 0, racines x₁ < x₂	Signe de a à l'extérieur [x₁;x₂], signe de −a entre x₁ et x₂

Exemple d'inéquation du 2nd degré

Résoudre : x² − x − 6 < 0

Δ = 1 + 24 = 25. x₁ = (1−5)/2 = −2 et x₂ = (1+5)/2 = 3.

a = 1 > 0 : le trinôme est négatif entre les racines. Solution : ]−2 ; 3[

3. Équations et inéquations du 1er degré avec valeur absolue

Méthode de résolution

Équation |ax + b| = c (c ≥ 0) : on dissocie deux cas :

• ax + b = c → solution x₁

• ax + b = −c → solution x₂

Exemples

|2x − 4| = 6 ⟺ 2x−4 = 6 ou 2x−4 = −6 ⟺ x = 5 ou x = −1. S = {−1 ; 5}

|3x + 1| = 0 ⟺ 3x+1 = 0 ⟺ x = −1/3. S = {−1/3}

4. Équations irrationnelles

Méthode

Pour résoudre √(f(x)) = g(x) :

1. Conditions : f(x) ≥ 0 et g(x) ≥ 0

2. Élever au carré : f(x) = [g(x)]²

3. Résoudre et vérifier que les solutions satisfont les conditions

Exemple

Résoudre : √(x + 3) = x − 1

Conditions : x + 3 ≥ 0 et x − 1 ≥ 0, donc x ≥ 1.

On élève au carré : x + 3 = (x−1)² = x² − 2x + 1

x² − 3x − 2 = 0... Δ = 9 + 8 = 17. x = (3 ± √17)/2.

Seule la valeur ≥ 1 est retenue après vérification.

🧠 À retenir absolument

Δ = b² − 4ac : Δ > 0 → 2 solutions ; Δ = 0 → 1 solution ; Δ < 0 → pas de solution
Somme des racines = −b/a ; produit des racines = c/a (Viète)
Si a > 0 et Δ > 0 : le trinôme est négatif entre les racines
|ax+b| = c ⟺ ax+b = c ou ax+b = −c
Équation irrationnelle : toujours vérifier les solutions !

Résolution d'équations du 2nd degré

● Facile

Résoudre dans ℝ :

x² − 7x + 12 = 0
2x² − 8 = 0
x² + 4x + 4 = 0
x² + x + 1 = 0

✅ Correction

Δ = 49 − 48 = 1. x₁ = (7−1)/2 = 3, x₂ = (7+1)/2 = 4. S = {3 ; 4}
2x² = 8 ⟺ x² = 4 ⟺ x = ±2. S = {−2 ; 2}
Δ = 16 − 16 = 0. x₀ = −4/2 = −2. S = {−2} (racine double)
Δ = 1 − 4 = −3 < 0. S = ∅ (pas de solution réelle)

Inéquations du 2nd degré

● Moyen

Résoudre dans ℝ :

x² − 5x + 6 ≤ 0
2x² − 7x + 3 > 0
−x² + 4 ≥ 0

✅ Correction

Δ = 25−24 = 1. Racines : x₁ = 2, x₂ = 3. a = 1 > 0, donc négatif entre les racines : S = [2 ; 3]
Δ = 49 − 24 = 25. x₁ = (7−5)/4 = 1/2, x₂ = (7+5)/4 = 3. a = 2 > 0, positif à l'extérieur : S = ]−∞ ; 1/2[ ∪ ]3 ; +∞[
−x² + 4 ≥ 0 ⟺ x² ≤ 4 ⟺ |x| ≤ 2. S = [−2 ; 2]

Équations avec valeur absolue

● Moyen

Résoudre dans ℝ :

|x − 3| = 5
|2x + 1| = 7
|x − 2| = |x + 4|

✅ Correction

x−3 = 5 ou x−3 = −5 ⟺ x = 8 ou x = −2. S = {−2 ; 8}
2x+1 = 7 ou 2x+1 = −7 ⟺ x = 3 ou x = −4. S = {−4 ; 3}
|a| = |b| ⟺ a = b ou a = −b. Cas 1: x−2 = x+4 → impossible. Cas 2: x−2 = −(x+4) ⟺ 2x = −2 ⟺ x = −1. S = {−1}

Relations de Viète

● Moyen

Pour l'équation 3x² − 12x + k = 0 :

Exprimer la somme et le produit des racines en fonction de k.
Trouver k tel que les deux racines soient égales.
Pour k = 9, vérifier que x = 1 est une racine et trouver l'autre.

✅ Correction

Somme = −(−12)/3 = 4. Produit = k/3.
Racines égales ⟺ Δ = 0 ⟺ (−12)² − 4·3·k = 0 ⟺ 144 = 12k ⟺ k = 12.
Pour k = 9 : 3(1)² − 12(1) + 9 = 3 − 12 + 9 = 0 ✅. Par Viète : x₁ + x₂ = 4 ⟹ x₂ = 4 − 1 = 3. Vérification : 3(9) − 12(3) + 9 = 27 − 36 + 9 = 0 ✅

Problème — Équation issue d'une situation

● Difficile

Un rectangle a un périmètre de 28 cm et une aire de 48 cm². Soient L et l ses dimensions.

Écrire le système d'équations vérifié par L et l.
En déduire une équation du 2nd degré dont L est solution.
Résoudre cette équation et donner les dimensions du rectangle.

✅ Correction

Périmètre : 2(L + l) = 28 → L + l = 14. Aire : L · l = 48.
l = 14 − L. Donc L(14 − L) = 48 ⟺ 14L − L² = 48 ⟺ L² − 14L + 48 = 0
Δ = 196 − 192 = 4. L₁ = (14−2)/2 = 6, L₂ = (14+2)/2 = 8. Les dimensions sont 8 cm et 6 cm. Vérification : 8+6 = 14 ✅, 8×6 = 48 ✅

QCM — Auto-évaluation

10 questions · Une seule bonne réponse · Correction immédiate

0Score

0/10Répondues

Question 1 / 10

Le discriminant de x² − 6x + 9 = 0 vaut :

Question 2 / 10

L'équation 2x² − 3x − 2 = 0 a pour discriminant :

Question 3 / 10

Si les racines d'une équation du 2nd degré sont 2 et −3, leur produit vaut :

Question 4 / 10

|3x − 6| = 9 a pour solutions :

Question 5 / 10

L'inéquation x² − 4 < 0 a pour solution :

Question 6 / 10

Une équation du 2nd degré avec Δ < 0 admet :

Question 7 / 10

La somme des racines de 3x² + 6x − 9 = 0 est :

Question 8 / 10

ax² + bx + c = 0 avec a > 0 et Δ > 0. Le trinôme est négatif :

Question 9 / 10

Résoudre x² − 9 = 0 :

Question 10 / 10

Le produit des racines de x² − 5x + 6 = 0 est :