Objectif Général 2 — Résoudre des systèmes 2×2 et 3×3, régionnement du plan, introduction à la programmation linéaire.
Un système du 1er degré à deux inconnues s'écrit :
{ a₁x + b₁y = c₁
{ a₂x + b₂y = c₂
La solution est le couple (x, y) vérifiant les deux équations simultanément.
1. Substitution : exprimer une inconnue en fonction de l'autre dans une équation, puis substituer dans la deuxième.
2. Combinaison linéaire (élimination) : multiplier les équations par des coefficients pour éliminer une inconnue par addition.
3. Graphique : tracer les deux droites ; le point d'intersection est la solution.
Résoudre : { 2x + y = 7 et { x − y = 2
De la 2ème : x = y + 2. Substituer dans la 1ère : 2(y+2) + y = 7 → 3y = 3 → y = 1.
Donc x = y + 2 = 3. Solution : (3 ; 1)
Résoudre : { 3x + 2y = 8 et { 5x − 2y = 0
On additionne : 8x = 8 → x = 1. Puis 3(1) + 2y = 8 → y = 5/2. Solution : (1 ; 5/2)
• Système impossible : les deux droites sont parallèles (aucune solution)
• Système indéterminé : les deux droites sont confondues (infinité de solutions)
Un système 3×3 s'écrit :
{ a₁x + b₁y + c₁z = d₁
{ a₂x + b₂y + c₂z = d₂
{ a₃x + b₃y + c₃z = d₃
Méthode : par combinaisons successives, éliminer une inconnue deux fois pour se ramener à un système 2×2, puis résoudre.
1. Éliminer z des équations (1) et (2) → équation (4) en x et y
2. Éliminer z des équations (1) et (3) → équation (5) en x et y
3. Résoudre le système 2×2 formé par (4) et (5)
4. Remonter pour trouver z
L'inéquation ax + by ≤ c définit un demi-plan (y compris la droite ax+by=c).
Pour déterminer quel demi-plan : tester un point simple, souvent l'origine O(0,0).
1. Tracer la droite ax + by = c
2. Tester O(0,0) dans l'inéquation
3. Si O vérifie l'inéquation : le demi-plan contenant O est la solution
4. Si O ne vérifie pas : l'autre demi-plan est la solution
Représenter graphiquement : x + 2y ≤ 4
Droite : x + 2y = 4 (passe par (4;0) et (0;2)).
Test de O(0,0) : 0 + 0 = 0 ≤ 4 ✅ → la solution est le demi-plan contenant O.
La programmation linéaire consiste à optimiser (maximiser ou minimiser) une fonction objectif linéaire f(x, y) = ax + by + c sous des contraintes qui sont des inéquations linéaires.
L'ensemble des points vérifiant toutes les contraintes est un polygone convexe appelé domaine admissible.
Si la fonction objectif a un maximum ou un minimum sur le domaine admissible, ce maximum (ou minimum) est atteint en l'un des sommets du polygone convexe.
1. Identifier les contraintes et les traduire en inéquations
2. Tracer le domaine admissible (intersection des demi-plans)
3. Identifier les sommets du polygone
4. Calculer f(x, y) en chaque sommet
5. Conclure : le maximum (ou minimum) est la plus grande (ou petite) valeur obtenue
Résoudre par substitution :
Résoudre par combinaison linéaire :
Décrire l'ensemble des points (x, y) vérifiant simultanément les contraintes suivantes (donner la méthode graphique) :
• x ≥ 0 • y ≥ 0 • x + y ≤ 6 • x + 2y ≤ 8
Donner les coordonnées des sommets du domaine admissible.
Les quatre contraintes définissent un polygone convexe. On trace les droites limites :
• x = 0 (axe des y) ; y = 0 (axe des x)
• x + y = 6 : passe par (6;0) et (0;6)
• x + 2y = 8 : passe par (8;0) et (0;4)
Intersection de x+y=6 et x+2y=8 : soustraction → y = 2, x = 4. Point (4;2).
Les sommets du domaine sont : O(0;0), A(6;0), B(4;2), C(0;4).
Résoudre le système :
{ x + y + z = 6
{ 2x − y + z = 3
{ x + 2y − z = 4L1 − L2 : −x + 2y = 3 → (4)
L1 + L3 : 2x + 3y = 10 → (5)
De (4) : x = 2y − 3. Dans (5) : 2(2y−3)+3y = 10 → 7y = 16 → y = 16/7.
x = 2(16/7)−3 = 32/7 − 21/7 = 11/7.
z = 6 − x − y = 6 − 11/7 − 16/7 = 42/7 − 27/7 = 15/7.
Solution : (11/7 ; 16/7 ; 15/7). Vérification dans L1 : 11/7+16/7+15/7 = 42/7 = 6 ✅
Un artisan fabrique deux types de produits A et B. Chaque produit A nécessite 2h de travail et 1 kg de matière première. Chaque produit B nécessite 1h et 3 kg. Il dispose de 10h de travail et 12 kg de matière. Il gagne 3 000 F sur chaque A et 4 000 F sur chaque B.
10 questions · Une seule bonne réponse · Correction immédiate
Le système { x+y=5 et { x−y=1 a pour solution :
Pour résoudre { 2x+y=7 et { 4x+2y=14, on conclut :
L'inéquation x + y ≤ 4 : l'origine O(0,0) :
En programmation linéaire, le maximum de la fonction objectif est atteint :
Le système { 3x+2y=1 et { 6x+4y=5 est :
Résoudre { x+y=10 et { x−y=2 donne :
Le domaine x≥0, y≥0, x+y≤4 a combien de sommets ?
La méthode de substitution consiste à :
Pour un système 3×3, la méthode consiste à :
Si la fonction objectif Z = 2x+3y doit être maximisée sur un polygone convexe de sommets O(0,0), A(4,0), B(2,3), C(0,2), le maximum est :