Une force F travaille lorsque son point d'application se déplace. Si un solide subit une translation rectiligne de longueur d sous l'action d'une force constante F (direction, sens et valeur inchangés), faisant un angle α avec la direction du déplacement, le travail de cette force vaut :
W(F) = F·d·cosα
avec F en newton (N), d en mètre (m) et W en joule (J), unité SI de l'énergie et du travail : 1 J = 1 N·m.
Le signe du travail dépend uniquement de l'angle α entre la force et le déplacement :
| Cas | Angle α | Signe de W | Nature du travail |
|---|---|---|---|
| Force dans le sens du mouvement | α = 0° (cosα = 1) | W = F·d > 0 | travail moteur (favorise le mouvement) |
| Force opposée au mouvement | α = 180° (cosα = −1) | W = −F·d < 0 | travail résistant (s'oppose au mouvement) |
| Force perpendiculaire au mouvement | α = 90° (cosα = 0) | W = 0 | travail nul (ex. réaction normale du support, tension d'un fil dans un mouvement circulaire) |
Le poids P = mg est une force constante, verticale, dirigée vers le bas. Lorsque le centre d'inertie d'un corps de masse m passe d'une altitude à une autre séparée d'une dénivellation h :
Le travail du poids ne dépend pas de la trajectoire suivie entre les positions de départ et d'arrivée : il ne dépend que de la différence d'altitude h entre ces deux positions (et non de la longueur du chemin parcouru, ni de la vitesse). On dit que le poids est une force conservative.
Pour un solide en rotation autour d'un axe fixe, sous l'action d'une force tangentielle constante F appliquée à la distance r de l'axe (rayon), le point d'application décrit un arc de longueur s = r·θ, où θ est l'angle de rotation exprimé en radians. Le travail s'écrit alors, comme en translation :
W = F·s = F·r·θ = M·θ
où M = F·r est le moment de la force par rapport à l'axe de rotation (en N·m). θ étant sans dimension (rad), W reste bien exprimé en joule.
Une machine simple (plan incliné, levier, poulie...) permet de transformer ou de transmettre un effort sans créer d'énergie. Dans une machine parfaite (sans frottement), le travail fourni en entrée est intégralement restitué en sortie : le travail se conserve.
Pour élever, à vitesse constante, une charge de poids P = mg à une hauteur h, en la faisant glisser sans frottement le long d'un plan incliné de longueur L, la force F0 à exercer parallèlement à la pente vérifie la conservation du travail : F0·L = P·h, soit :
F0 = mgh/L
Cette force idéale est toujours inférieure au poids P (puisque L > h) : le plan incliné permet de soulever une charge en fournissant un effort moindre, au prix d'un déplacement plus long — le travail total nécessaire ne change pas.
Un levier pivote autour d'un point fixe (le pivot). Une force motrice F1 appliquée à la distance d1 du pivot équilibre une force résistante F2 appliquée à la distance d2 lorsque les moments s'équilibrent : F1·d1 = F2·d2. Pour une même rotation d'angle θ, les deux extrémités décrivent des arcs proportionnels à leur distance au pivot ; le travail moteur W1 = F1·d1·θ est alors, dans le cas idéal, égal au travail résistant utile W2 = F2·d2·θ : le travail se conserve.
Dans la réalité, les frottements dissipent une partie de l'énergie. Le rendement η d'une machine simple compare le travail utile réellement obtenu au travail moteur (fourni) :
η = W_utile / W_fourni
η est un nombre sans unité, souvent exprimé en pourcentage, toujours strictement inférieur à 1 (100 %) dès qu'il existe des frottements.
Une caisse de masse m = 50 kg est hissée sur une rampe de longueur L = 5 m permettant de gravir une hauteur h = 1,25 m. À cause des frottements, il faut exercer une force constante F = 140 N le long de la pente (on prend g = 10 N/kg).
Travail utile : W_utile = mgh = 50×10×1,25 = 625 J.
Travail fourni : W_fourni = F·L = 140×5 = 700 J.
Rendement : η = 625/700 ≈ 0,893, soit η ≈ 89,3 %. Les 700−625 = 75 J restants sont dissipés par frottements (échauffement).
Force idéale sans frottement : F0 = mgh/L = 625/5 = 125 N, inférieure à la force réelle de 140 N.
La puissance mécanique d'une force mesure la rapidité avec laquelle elle effectue un travail. Si une force effectue un travail W pendant une durée t, sa puissance moyenne est :
P = W/t
Unité SI : le watt (W), avec 1 W = 1 J/s.
Si une force constante F, appliquée dans la direction du déplacement, déplace un solide à la vitesse v (constante), alors :
P = F·v
(en effet W = F·d et v = d/t, donc P = W/t = F·d/t = F·v).
Si un solide tourne à vitesse angulaire constante ω (en rad/s) sous l'action d'un moment moteur constant M (en N·m) :
P = W/t = M·ω
Un moteur exerce une force de traction F = 2000 N sur un câble qui se déplace à la vitesse constante v = 0,5 m/s. La puissance mécanique développée est P = F·v = 2000×0,5 = 1000 W = 1 kW.
Un ouvrier tire une caisse sur un sol horizontal à l'aide d'une corde faisant un angle α = 40° avec l'horizontale. La tension de la corde est constante, F = 200 N, et la caisse se déplace en translation rectiligne sur une distance d = 8 m.
1) Calculer le travail W(F) de la force F pendant ce déplacement.
2) Ce travail est-il moteur ou résistant ? Justifier à partir du signe de cosα.
1) W(F) = F·d·cosα = 200×8×cos40° = 1600×0,766 ≈ 1226 J (soit environ 1,23×10³ J).
2) Comme 0° < α = 40° < 90°, on a cosα > 0, donc W(F) > 0 : le travail est moteur (la composante horizontale de la force favorise le déplacement de la caisse).
Un ascenseur (cabine + passagers) de masse totale m = 800 kg monte du rez-de-chaussée jusqu'au 5e étage, soit une hauteur h = 15 m, en une durée t = 25 s, à vitesse considérée comme constante. On prend g = 10 N/kg et on néglige les frottements.
1) Calculer le travail du poids W(P) pendant la montée. Ce travail est-il moteur ou résistant ?
2) La vitesse étant constante, la force motrice exercée par le câble (moteur) compense exactement le poids. Calculer le travail W_moteur de cette force motrice sur la hauteur h.
3) Calculer la puissance mécanique moyenne P développée par le moteur, de deux façons différentes.
1) W(P) = −mgh = −800×10×15 = −120 000 J = −120 kJ. Le poids est vertical vers le bas alors que le déplacement est vers le haut (α = 180°) : le travail est résistant.
2) Sans frottement et à vitesse constante, F_moteur = mg = 8000 N (dirigée vers le haut, comme le déplacement) : W_moteur = F_moteur×h = 8000×15 = 120 000 J = 120 kJ (exactement opposé au travail du poids, ce qui est cohérent avec une vitesse constante).
3) Méthode 1 : P = W_moteur/t = 120 000/25 = 4800 W = 4,8 kW.
Méthode 2 : la vitesse est v = h/t = 15/25 = 0,6 m/s, donc P = F_moteur×v = 8000×0,6 = 4800 W. Les deux méthodes sont bien cohérentes.
Pour charger un fût de masse m = 120 kg sur un plateau situé à h = 1,6 m de hauteur, un manutentionnaire utilise une rampe (plan incliné) de longueur L = 6 m. Il pousse le fût avec une force constante F = 350 N, dirigée selon la ligne de plus grande pente, à vitesse constante sur toute la longueur de la rampe. On prend g = 10 N/kg.
1) Calculer le travail fourni W_fourni = F·L.
2) Calculer le travail utile W_utile = mgh, réellement nécessaire pour élever le fût.
3) En déduire le rendement η de cette opération, puis le travail perdu par frottements.
4) Calculer la force F0 qu'il faudrait exercer si la rampe était parfaite (sans frottement), et comparer à F.
1) W_fourni = F×L = 350×6 = 2100 J.
2) W_utile = mgh = 120×10×1,6 = 1920 J.
3) η = W_utile/W_fourni = 1920/2100 ≈ 0,914, soit η ≈ 91,4 %. Travail perdu par frottements : 2100 − 1920 = 180 J.
4) F0 = mgh/L = 1920/6 = 320 N. On a bien F = 350 N > F0 = 320 N : l'écart de 30 N correspond à l'effort supplémentaire nécessaire pour vaincre les frottements.
Un treuil électrique enroule un câble sur un tambour de rayon r = 15 cm, entraîné par un moteur exerçant un moment moteur constant M = 450 N·m. Le tambour tourne à la fréquence n = 40 tr/min et soulève, à vitesse constante, une charge de masse m = 300 kg. On prend g = 10 N/kg ; le rendement du treuil est supposé égal à 100 %.
1) Calculer la vitesse angulaire ω du tambour (en rad/s).
2) Calculer la vitesse linéaire v de montée de la charge (v = r·ω).
3) Calculer la puissance mécanique P développée par le moteur par deux méthodes : P = M·ω et P = F·v (en déduire la tension F du câble et vérifier sa valeur).
4) La charge étant soulevée de h = 9 m, calculer la durée de la montée, puis le travail moteur total fourni. Vérifier sa cohérence avec le travail utile mgh.
1) n = 40 tr/min = 0,667 tr/s. ω = 2πn = 2π×0,667 ≈ 4,19 rad/s.
2) v = r×ω = 0,15×4,19 ≈ 0,628 m/s.
3) P = M×ω = 450×4,19 ≈ 1885 W ≈ 1,88 kW.
Avec P = F×v, on déduit F = P/v = 1885/0,628 ≈ 3000 N. Or, à vitesse constante et rendement parfait, la tension du câble doit équilibrer le poids : mg = 300×10 = 3000 N. On retrouve exactement cette valeur : les deux méthodes de calcul de la puissance sont cohérentes.
4) Durée de la montée : t = h/v = 9/0,628 ≈ 14,3 s.
Travail moteur fourni : W_moteur = P×t = 1885×14,3 ≈ 27 000 J.
Travail utile : mgh = 300×10×9 = 27 000 J. Les deux valeurs coïncident (rendement de 100 % supposé), ce qui confirme la cohérence des calculs.
Sur un chantier, on utilise une rampe (plan incliné) de longueur L = 8 m et de hauteur h = 2 m pour charger des sacs de ciment de masse totale m = 250 kg dans un camion, à l'aide d'un treuil motorisé qui tire la charge à vitesse constante v = 0,5 m/s le long de la rampe. La force de traction du câble, parallèle à la rampe, vaut F = 750 N (les frottements ne sont pas négligeables). On prend g = 10 N/kg.
10 questions · Correction immédiate
Le travail d'une force constante F dont le point d'application se déplace de d, l'angle entre F et le déplacement étant α, s'écrit :
Une force dont l'angle avec le déplacement est aigu (0° < α < 90°) exerce un travail :
Une force perpendiculaire au déplacement de son point d'application (α = 90°) a un travail :
Lors d'une descente de hauteur h, le travail du poids d'un corps de masse m vaut :
Le travail du poids entre deux positions données :
Le rendement η d'une machine simple réelle, comportant des frottements, vérifie toujours :
Sur un plan incliné idéal (sans frottement) de longueur L et de hauteur h, la force minimale F0 à exercer parallèlement à la pente pour élever une charge de poids P vérifie :
L'unité S.I. de la puissance mécanique est :
Une force constante F, appliquée dans la direction du déplacement, déplace un objet à la vitesse constante v. La puissance mécanique développée est :
Pour un solide en rotation autour d'un axe fixe, soumis à un moment moteur constant M et animé de la vitesse angulaire ω, la puissance mécanique vaut :
