Ch. 01 Mathématiques · 2nde Commerciale (SBG)

Les nombres

Objectif Général 1 — Nombres réels et calculs. Ensembles N, Z, D, Q, R et leurs propriétés, inclusions et opérations.

1. Les grands ensembles de nombres

Définitions

ℕ (entiers naturels) = {0, 1, 2, 3, 4, …}

ℤ (entiers relatifs) = {…, −2, −1, 0, 1, 2, …}

D (décimaux) = nombres qui s'écrivent a/10ⁿ avec a ∈ ℤ et n ∈ ℕ (écriture décimale finie).

ℚ (rationnels) = nombres qui s'écrivent p/q avec p ∈ ℤ et q ∈ ℤ* (écriture décimale finie ou périodique).

ℝ (réels) = tous les nombres rencontrés au lycée : rationnels et irrationnels (√2, π, …).

Chaîne d'inclusions

ℕ ⊂ ℤ ⊂ D ⊂ ℚ ⊂ ℝ

Chaque ensemble est strictement contenu dans le suivant : −3 ∈ ℤ mais −3 ∉ ℕ ; 0,4 ∈ D mais 0,4 ∉ ℤ ; 1/3 ∈ ℚ mais 1/3 ∉ D ; √2 ∈ ℝ mais √2 ∉ ℚ.

Exemples de classement

7 ∈ ℕ · −5 ∈ ℤ\ℕ · 0,75 = 3/4 ∈ D · 1/6 = 0,1666… ∈ ℚ\D (car 6 = 2×3 contient un facteur 3) · √9 = 3 ∈ ℕ · √2 ∈ ℝ\ℚ

2. Reconnaître un décimal ou un rationnel

Critère pratique

Une fraction irréductible p/q est décimale si et seulement si le dénominateur q, une fois simplifié, ne contient que les facteurs premiers 2 et/ou 5.

Si le dénominateur contient un autre facteur premier (3, 7, 11…), le nombre est rationnel mais pas décimal (écriture décimale illimitée périodique).

Nombre	Fraction irréductible	Dénominateur	Décimal (D) ?
0,4	2/5	5	Oui
1,25	5/4	4 = 2²	Oui
1/3	1/3	3	Non (∈ ℚ seulement)
7/6	7/6	6 = 2×3	Non (∈ ℚ seulement)

Exemple

0,45 = 45/100 = 9/20 ; 20 = 4×5 = 2²×5, donc 9/20 ∈ D.

3. Opérations et stabilité des ensembles

Stabilité

Un ensemble E est stable pour une opération si le résultat de cette opération, appliquée à des éléments de E, reste toujours dans E.

Ensemble	Addition	Soustraction	Multiplication	Division
ℕ	Stable	Non stable (2−5=−3∉ℕ)	Stable	Non stable
ℤ	Stable	Stable	Stable	Non stable (1÷3∉ℤ)
D	Stable	Stable	Stable	Non stable (1÷3∉D)
ℚ	Stable	Stable	Stable	Stable (sauf ÷0)
ℝ	Stable	Stable	Stable	Stable (sauf ÷0)

Exemple

3 ∈ ℤ et 7 ∈ ℤ, mais 3 ÷ 7 = 3/7 ∉ ℤ : ℤ n'est pas stable pour la division. Il faut passer à ℚ pour que 3/7 ait un sens dans l'ensemble étudié.

🧠 À retenir absolument

ℕ ⊂ ℤ ⊂ D ⊂ ℚ ⊂ ℝ (chaîne d'inclusions à connaître par cœur)
D = fractions dont le dénominateur (irréductible) n'a que 2 et/ou 5 comme facteurs premiers
ℚ = toutes les fractions p/q (q≠0) ; ℝ\ℚ = irrationnels (√2, π…)
ℕ et ℤ ne sont pas stables pour la division ; D non plus
ℚ et ℝ sont stables pour +, −, ×, ÷ (sauf division par 0)

Classement dans les ensembles

● Facile

Pour chaque nombre, indiquer le plus petit ensemble parmi ℕ, ℤ, D, ℚ, ℝ auquel il appartient :

12
−8
0,25
1/3
√16
√5

✅ Correction

12 ∈ ℕ (entier positif)
−8 ∈ ℤ\ℕ (entier négatif)
0,25 = 1/4 ∈ D (dénominateur 4=2²)
1/3 ∈ ℚ\D (dénominateur 3)
√16 = 4 ∈ ℕ
√5 ∈ ℝ\ℚ (5 n'est pas un carré parfait)

Vrai ou faux

● Facile

Répondre par vrai ou faux, en justifiant :

Tout entier naturel est un entier relatif.
Tout décimal est un entier.
ℤ est stable pour la soustraction.
ℕ est stable pour la division.

✅ Correction

Vrai : ℕ ⊂ ℤ.
Faux : 0,5 est décimal mais pas entier.
Vrai : la différence de deux entiers relatifs est un entier relatif.
Faux : 2 ÷ 3 = 2/3 ∉ ℕ.

Écriture fractionnaire

● Moyen

Écrire chacun des nombres suivants sous forme de fraction irréductible p/q, puis dire s'il appartient à D :

0,125
0,45
1,1666… (1,1 puis 6 périodique)

✅ Correction

0,125 = 125/1000 = 1/8. Dénominateur 8=2³ → ∈ D.
0,45 = 45/100 = 9/20. Dénominateur 20=2²×5 → ∈ D.
Soit x=1,1666… . 10x=11,666… et 100x=116,666… . 100x−10x=105 donc 90x=105, x=105/90=7/6. Dénominateur 6=2×3 → ∈ ℚ mais ∉ D.

Stabilité des ensembles

● Moyen

1. Donner un exemple de deux entiers naturels dont la différence n'est pas dans ℕ.

2. Donner un exemple de deux décimaux dont le quotient n'est pas dans D.

3. Expliquer pourquoi ℚ est stable pour la division (sauf par 0).

✅ Correction

4 − 9 = −5 ∉ ℕ. Donc ℕ n'est pas stable pour la soustraction.
1 ÷ 3 = 0,333… ∉ D (dénominateur 3, non produit de 2 et 5). Donc D n'est pas stable pour la division.
Si a/b et c/d sont deux rationnels (b,d,c ≠ 0), alors (a/b) ÷ (c/d) = (a×d)/(b×c), qui est bien une fraction d'entiers avec dénominateur non nul (produit b×c ≠ 0) : le résultat reste dans ℚ.

Démonstration : 1/3 n'est pas décimal

● Difficile

On veut démontrer que 1/3 ∉ D, c'est-à-dire qu'il n'existe pas d'entier a et d'entier naturel n tels que 1/3 = a/10ⁿ.

Supposer par l'absurde que 1/3 = a/10ⁿ pour un certain a ∈ ℤ et n ∈ ℕ. En déduire une égalité entre 10ⁿ et 3a.
Montrer que 10ⁿ n'est jamais divisible par 3 (on pourra observer que 10 ≡ 1 [3]).
Conclure.

✅ Correction

Si 1/3 = a/10ⁿ, alors en multipliant les deux membres par 3×10ⁿ : 10ⁿ = 3a.
10 ≡ 1 (mod 3) car 10 = 3×3+1. Donc 10ⁿ ≡ 1ⁿ = 1 (mod 3) : 10ⁿ n'est jamais un multiple de 3, quel que soit n.
Or l'égalité 10ⁿ = 3a signifierait que 10ⁿ est un multiple de 3, ce qui est impossible d'après la question 2. Il y a donc contradiction : 1/3 ne peut pas s'écrire a/10ⁿ, donc 1/3 ∉ D.

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Question 1 / 10

Quelle est la chaîne d'inclusions correcte ?

Question 2 / 10

−5 appartient au plus petit ensemble :

Question 3 / 10

1/3 appartient à :

Question 4 / 10

Un nombre décimal a un dénominateur irréductible qui ne contient que :

Question 5 / 10

ℕ est-il stable pour la soustraction ?

Question 6 / 10

7/6 (fraction irréductible) est :

Question 7 / 10

ℚ est-il stable pour la division (sauf par 0) ?

Question 8 / 10

0,125 sous forme de fraction irréductible est :

Question 9 / 10

√2 appartient à :

Question 10 / 10

Pourquoi 1/3 n'est-il pas décimal ?