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Ch. 02 Mathématiques · 2nde Commerciale (SBG)

Éléments particuliers d'un sous-ensemble de R

Objectif Général 1 — Nombres réels et calculs. Majorant, minorant, borne supérieure, borne inférieure, maximum, minimum d'une partie de ℝ.

1. Majorants, minorants

Définitions

Soit A une partie non vide de ℝ.

• M ∈ ℝ est un majorant de A si ∀x∈A, x ≤ M

• m ∈ ℝ est un minorant de A si ∀x∈A, x ≥ m

A est majorée si elle admet au moins un majorant ; minorée si elle admet au moins un minorant ; bornée si elle est majorée ET minorée.

Exemple

Pour A = [−3 ; 5[ : 5, 6, 100 sont des majorants ; −3, −4, −10 sont des minorants. A est bornée.

Pour A = [0 ; +∞[ : aucun majorant n'existe (A n'est pas majorée), mais 0 est un minorant.

2. Borne supérieure, borne inférieure

Définitions

La borne supérieure de A, notée sup(A), est le plus petit des majorants de A (si A est majorée).

La borne inférieure de A, notée inf(A), est le plus grand des minorants de A (si A est minorée).

Propriété fondamentale de ℝ (admise)

Toute partie non vide et majorée de ℝ admet une borne supérieure. Toute partie non vide et minorée de ℝ admet une borne inférieure. (C'est ce qui distingue ℝ de ℚ : par exemple {x∈ℚ, x²<2} n'a pas de borne supérieure dans ℚ, mais en a une dans ℝ, qui vaut √2.)

Exemple

Pour A = [−3 ; 5[ : sup(A) = 5 (5 est le plus petit majorant, même s'il n'appartient pas à A) ; inf(A) = −3 (et −3 ∈ A).

3. Maximum, minimum

Définitions

• A admet un maximum si sup(A) existe et appartient à A ; on note alors max(A) = sup(A).

• A admet un minimum si inf(A) existe et appartient à A ; on note alors min(A) = inf(A).

À retenir

Un ensemble peut être borné sans avoir ni maximum ni minimum (bornes non atteintes). En revanche, s'il a un maximum, celui-ci est unique et égal à sup(A).

Ensemble Asup(A)max(A)inf(A)min(A)
[2 ; 7]7722
[2 ; 7[7n'existe pas22
]2 ; 7]772n'existe pas
ℕn'existe pasn'existe pas00
Exemple

A = [2 ; 7[ : sup(A) = 7 car 7 est le plus petit majorant, mais 7 ∉ A donc A n'a pas de maximum. En revanche 2 ∈ A et 2 minore A, donc min(A) = 2.

🧠 À retenir absolument

  • Majorant M : x ≤ M pour tout x de A · Minorant m : x ≥ m pour tout x de A
  • sup(A) = plus petit des majorants · inf(A) = plus grand des minorants
  • Toute partie non vide majorée (resp. minorée) de ℝ admet une borne sup (resp. inf) — propriété admise
  • max(A) existe ⟺ sup(A) ∈ A ; alors max(A) = sup(A) (même chose pour min et inf)
  • Bornée = majorée ET minorée ; borné n'implique pas l'existence d'un max ou d'un min
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Majorants et minorants

● Facile

Pour A = ]−4 ; 9] :

  1. Donner deux majorants et deux minorants de A.
  2. A est-elle bornée ?
✅ Correction
  1. Majorants : 9 et 12 (tout réel ≥ 9). Minorants : −4 et −6 (tout réel ≤ −4).
  2. A est majorée et minorée, donc A est bornée.
2

Bornée ou non ?

● Facile

Dire si les ensembles suivants sont bornés, en justifiant :

  1. A = ]−∞ ; 3]
  2. B = [−1 ; 1]
  3. C = ℤ
✅ Correction
  1. A = ]−∞;3] est majorée par 3 mais pas minorée (aucun réel ne minore tous les réels ≤ 3) : non bornée.
  2. B = [−1;1] est majorée par 1 et minorée par −1 : bornée.
  3. C = ℤ n'est ni majoré ni minoré : non bornée.
3

Bornes sup/inf, max/min

● Moyen

Pour chacun des ensembles suivants, donner sup, inf, max et min lorsqu'ils existent :

  1. A = ]−5 ; 5[
  2. B = [0 ; 10[
  3. C = ]−∞ ; 2[
✅ Correction
  1. A = ]−5;5[ : sup(A)=5 (∉A donc pas de max) ; inf(A)=−5 (∉A donc pas de min).
  2. B = [0;10[ : sup(B)=10 (∉B, pas de max) ; inf(B)=0=min(B) (0∈B).
  3. C = ]−∞;2[ : pas de majorant donc pas de sup ni de max ; pas de minorant non plus donc pas d'inf ni de min.
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Justifier une borne supérieure

● Moyen

Soit A = { 2 − 1/n , n ∈ ℕ* } = {1, 1,5, 5/3, 7/4, …}.

  1. Montrer que 2 est un majorant de A.
  2. Montrer qu'aucun réel strictement inférieur à 2 ne peut majorer A (on admettra que 1/n peut être rendu aussi petit que l'on veut).
  3. En déduire sup(A). A admet-elle un maximum ?
✅ Correction
  1. Pour tout n∈ℕ*, 1/n > 0 donc 2 − 1/n < 2 : 2 majore bien A.
  2. Soit M < 2. Il existe n assez grand tel que 1/n < 2 − M (car 1/n peut être rendu aussi petit que voulu), donc 2 − 1/n > M : M ne majore pas A.
  3. 2 est donc le plus petit des majorants : sup(A) = 2. Comme 2 − 1/n < 2 pour tout n, jamais 2 n'est atteint : 2 ∉ A, donc A n'a pas de maximum.
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Synthèse : intersection d'ensembles

● Difficile

Soit A = [−2 ; 6[ et B = ]1 ; 10]. On pose C = A ∩ B.

  1. Déterminer C sous forme d'intervalle.
  2. Donner sup(C), inf(C), max(C), min(C) lorsqu'ils existent.
  3. C est-elle bornée ?
✅ Correction
  1. A∩B = ]1 ; 6[ (on prend l'intersection des bornes : borne inférieure la plus grande = 1 exclu, borne supérieure la plus petite = 6 exclu).
  2. sup(C)=6 (∉C, pas de max) ; inf(C)=1 (∉C, pas de min). Ni maximum ni minimum.
  3. C est majorée (par 6) et minorée (par 1), donc C est bornée, bien qu'elle n'ait ni maximum ni minimum.

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0/10Répondues
Question 1 / 10

M est un majorant de A si :

Question 2 / 10

La borne supérieure de A est :

Question 3 / 10

Pour A = [3 ; 8[, sup(A) vaut :

Question 4 / 10

Pour A = [3 ; 8[, A admet-elle un maximum ?

Question 5 / 10

Un ensemble borné :

Question 6 / 10

ℝ possède la propriété suivante (admise) :

Question 7 / 10

Si max(A) existe, alors :

Question 8 / 10

Pour A = ℕ, inf(A) vaut :

Question 9 / 10

Pour B = ]−7 ; −7] (par erreur d'écriture, on considère B=]-7;2]), min(B) vaut :

Question 10 / 10

Pour A = [−1 ; 4], max(A) vaut :