Objectif Général 4 — Trigonométrie et fonctions. Ensemble de définition, sens de variation, tableau de variation et courbe représentative d'une fonction numérique.
L'ensemble de définition d'une fonction f, noté Df, est l'ensemble des réels x pour lesquels f(x) existe (peut être calculé).
• Un dénominateur ne doit jamais être nul.
• L'expression sous une racine carrée doit être positive ou nulle.
f(x) = 2x − 3 : Df = ℝ (aucune restriction).
f(x) = 1/(x−2) : il faut x−2 ≠ 0, donc Df = ℝ\{2}.
f(x) = √(x−3) : il faut x−3 ≥ 0, donc Df = [3 ; +∞[.
Soit f une fonction définie sur un intervalle I.
• f est croissante sur I si pour tous a, b de I : a < b ⟹ f(a) ≤ f(b) (l'ordre est conservé).
• f est décroissante sur I si pour tous a, b de I : a < b ⟹ f(a) ≥ f(b) (l'ordre est inversé).
Pour a ≠ b dans I, on étudie le signe du taux de variation :
τ = (f(b) − f(a)) / (b − a)
Si τ > 0 pour tous a≠b de I, f est strictement croissante sur I. Si τ < 0, f est strictement décroissante sur I.
Montrons que f(x)=3x−2 est croissante sur ℝ. Pour a≠b :
τ = (f(b)−f(a))/(b−a) = (3b−2−3a+2)/(b−a) = 3(b−a)/(b−a) = 3 > 0
Le taux de variation vaut toujours 3 > 0 : f est strictement croissante sur ℝ.
Le tableau de variation résume, à l'aide de flèches, les intervalles sur lesquels une fonction est croissante (flèche ↗) ou décroissante (flèche ↘), en indiquant les valeurs de x aux bornes et les valeurs (ou extrema) de f correspondantes.
Pour f(x) = x² − 4x + 3 = (x−2)² − 1 (forme canonique), le sommet de la parabole est en x=2, avec f(2) = −1.
| x | −∞ | 2 | +∞ | ||
|---|---|---|---|---|---|
| f(x) | ↘ | −1 | ↗ | ||
f est décroissante sur ]−∞ ; 2] et croissante sur [2 ; +∞[ ; elle admet un minimum égal à −1, atteint en x=2.
La courbe représentative d'une fonction f dans un repère est l'ensemble des points M(x ; f(x)) pour x décrivant Df. On la note souvent Cf.
• L'image f(a) se lit en abscisse a, ordonnée du point de Cf.
• Résoudre f(x) = k revient à chercher les abscisses des points d'intersection de Cf avec la droite horizontale d'équation y = k.
• Le sens de variation se lit directement sur le tracé : la courbe « monte » là où f est croissante, « descend » là où f est décroissante.
Déterminer l'ensemble de définition de f(x) = 1/(x+5).
Il faut que le dénominateur soit non nul : x+5 ≠ 0, soit x ≠ −5.
Df = ℝ\{−5}
Déterminer l'ensemble de définition de f(x) = √(2x − 6).
Il faut que l'expression sous la racine soit positive ou nulle : 2x−6 ≥ 0 ⟺ x ≥ 3.
Df = [3 ; +∞[
Montrer, à l'aide du taux de variation, que f(x) = 3x − 2 est strictement croissante sur ℝ.
Pour tous réels a ≠ b :
τ = (f(b) − f(a)) / (b − a) = (3b − 2 − (3a − 2)) / (b − a) = 3(b − a) / (b − a) = 3
Le taux de variation est constant et égal à 3, qui est strictement positif. Donc f est strictement croissante sur ℝ.
On donne f(x) = x² − 4x + 3 = (x−2)² − 1. Dresser le tableau de variation de f et donner son minimum.
La forme canonique (x−2)²−1 montre que f(x) est minimale quand (x−2)² est minimal, c'est-à-dire pour x=2, avec f(2) = −1.
| x | −∞ | 2 | +∞ | ||
|---|---|---|---|---|---|
| f(x) | ↘ | −1 | ↗ | ||
f est décroissante sur ]−∞;2], croissante sur [2;+∞[, et admet un minimum égal à −1 en x=2.
Soit f(x) = 1/x, définie sur ]0 ; +∞[. Montrer, à l'aide du signe de f(b)−f(a), que f est strictement décroissante sur cet intervalle.
Soient a et b deux réels tels que 0 < a < b. Calculons f(b) − f(a) :
f(b) − f(a) = 1/b − 1/a = (a − b) / (ab)
Comme a < b, on a a − b < 0. De plus, a > 0 et b > 0 donc ab > 0. Le quotient d'un nombre négatif par un nombre positif est négatif :
f(b) − f(a) < 0, donc f(b) < f(a)
Ainsi, pour tous 0<a<b, on a f(a) > f(b) : f est strictement décroissante sur ]0 ; +∞[.
10 questions · Une seule bonne réponse · Correction immédiate
L'ensemble de définition de f(x)=1/(x−4) est :
L'ensemble de définition de f(x)=√(x−7) est :
f est croissante sur I signifie que pour tous a,b de I :
Le taux de variation entre a et b est défini par :
Si le taux de variation est strictement négatif sur I, alors f est :
Pour f(x)=3x−2, le taux de variation vaut toujours :
Pour f(x)=x²−4x+3=(x−2)²−1, le minimum de f est :
La courbe représentative Cf d'une fonction f est l'ensemble des points :
Résoudre graphiquement f(x)=k revient à chercher :
Pour f(x)=1/x sur ]0;+∞[, on a montré que f(b)−f(a)=(a−b)/(ab) pour 0<a<b. On en déduit que f est :
