Objectif Général 4 — Trigonométrie et fonctions. Lignes trigonométriques (cosinus, sinus, tangente), valeurs remarquables, formules d'addition et de duplication.
Pour un réel x, cos x et sin x sont les coordonnées du point image de x sur le cercle trigonométrique. La tangente est définie par :
tan x = sin x / cos x (définie si cos x ≠ 0)
Pour tout réel x :
cos²x + sin²x = 1
De plus, cos x et sin x sont toujours compris entre −1 et 1.
Pour x = π/4 : cos(π/4) = sin(π/4) = √2/2. Vérification : (√2/2)² + (√2/2)² = 1/2 + 1/2 = 1. ✓
| x | 0 | π/6 | π/4 | π/3 | π/2 |
|---|---|---|---|---|---|
| cos x | 1 | √3/2 | √2/2 | 1/2 | 0 |
| sin x | 0 | 1/2 | √2/2 | √3/2 | 1 |
| tan x | 0 | √3/3 | 1 | √3 | non définie |
Pour tous réels a et b :
cos(a+b) = cos a cos b − sin a sin b cos(a−b) = cos a cos b + sin a sin b sin(a+b) = sin a cos b + cos a sin b sin(a−b) = sin a cos b − cos a sin b
Calculer cos(75°) en écrivant 75° = 45° + 30° :
cos(75°) = cos45°cos30° − sin45°sin30° = (√2/2)(√3/2) − (√2/2)(1/2) = (√6 − √2)/4
cos(2a) = cos²a − sin²a = 2cos²a − 1 = 1 − 2sin²a sin(2a) = 2 sin a cos a
Si cos x = 3/5 avec x ∈ ]0 ; π/2[ (donc sin x > 0), alors sin x = 4/5 (car cos²x+sin²x=1 ⟹ sin²x=1−9/25=16/25).
sin(2x) = 2 sin x cos x = 2 × (4/5) × (3/5) = 24/25
Donner les valeurs exactes de cos(π/3) et sin(π/3).
D'après le tableau des valeurs remarquables : cos(π/3) = 1/2 et sin(π/3) = √3/2.
Vérifier la relation cos²x + sin²x = 1 pour x = π/4.
cos(π/4) = sin(π/4) = √2/2.
(√2/2)² + (√2/2)² = 2/4 + 2/4 = 4/4 = 1 ✓
La relation est bien vérifiée.
Calculer la valeur exacte de cos(75°) en écrivant 75° = 45° + 30°.
cos(75°) = cos(45°+30°) = cos45°cos30° − sin45°sin30° = (√2/2)(√3/2) − (√2/2)(1/2) = √6/4 − √2/4 = (√6 − √2)/4
On donne cos x = 3/5 avec x ∈ ]0 ; π/2[. Calculer sin x, puis sin(2x).
Comme cos²x+sin²x=1 : sin²x = 1 − (3/5)² = 1 − 9/25 = 16/25. Comme x ∈ ]0;π/2[, sin x > 0, donc sin x = 4/5.
sin(2x) = 2 sin x cos x = 2 × (4/5) × (3/5) = 24/25
On donne cos a = 3/5 et sin b = 5/13, avec a, b ∈ ]0 ; π/2[. Calculer cos(a − b).
Comme a ∈ ]0;π/2[, sin a > 0 : sin²a = 1 − 9/25 = 16/25, donc sin a = 4/5.
Comme b ∈ ]0;π/2[, cos b > 0 : cos²b = 1 − 25/169 = 144/169, donc cos b = 12/13.
On applique la formule d'addition :
cos(a−b) = cos a cos b + sin a sin b = (3/5)(12/13) + (4/5)(5/13) = 36/65 + 20/65 = 56/65
cos(a − b) = 56/65
10 questions · Une seule bonne réponse · Correction immédiate
Pour tout réel x, cos²x + sin²x est égal à :
cos(π/6) vaut :
La tangente est définie par :
La formule correcte pour cos(a+b) est :
La formule correcte pour sin(a+b) est :
sin(2a) est égal à :
cos(2a) peut s'écrire (parmi d'autres formes) :
Si cos x = 3/5 avec x∈]0;π/2[, alors sin x vaut :
Avec les données de la question 8, sin(2x) vaut :
cos(75°), calculé via 75°=45°+30°, vaut exactement :
