Ch. 01 Mathématiques · 2nde Commerciale (SG1/SH1)

Calculs sur les nombres, les puissances et les radicaux

Objectif Général 1 — Calculs numériques. Opérations dans R, règles des puissances, simplification de radicaux.

1. Puissances entières

Définitions

Pour a ∈ ℝ et n ∈ ℕ*, aⁿ = a × a × … × a (n facteurs).

Par convention, pour a ≠ 0 : a⁰ = 1.

Pour a ≠ 0 et n ∈ ℕ* : a⁻ⁿ = 1 / aⁿ (puissance à exposant négatif = inverse de la puissance positive).

Règles de calcul (a, b ≠ 0 ; m, n ∈ ℤ)

• aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ (produit de puissances de même base : on additionne les exposants)

• aᵐ / aⁿ = aᵐ⁻ⁿ (quotient : on soustrait les exposants)

• (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ (puissance de puissance : on multiplie les exposants)

• (a × b)ⁿ = aⁿ × bⁿ et (a / b)ⁿ = aⁿ / bⁿ

Exemples résolus

2³ × 2⁴ = 2⁷ = 128 (vérification : 2³=8, 2⁴=16, 8×16=128 ✓)

(2³)² = 2⁶ = 64 (vérification : 8² = 64 ✓)

3⁻² = 1/3² = 1/9

10⁻² × 10⁵ = 10³ = 1000

2. Racines carrées (radicaux)

Définition

Pour a ≥ 0, la racine carrée de a, notée √a, est l'unique nombre positif ou nul dont le carré vaut a : (√a)² = a.

Propriétés (a ≥ 0, b ≥ 0 ou b > 0 selon le cas)

• √(a × b) = √a × √b

• √(a / b) = √a / √b (b > 0)

• (√a)² = a et √(a²) = a si a ≥ 0

Pour simplifier un radical, on cherche le plus grand carré parfait qui divise le nombre sous la racine.

Exemples résolus

√50 = √(25 × 2) = √25 × √2 = 5√2

√18 + √8 = √(9×2) + √(4×2) = 3√2 + 2√2 = 5√2

Rationaliser 1/√3 : on multiplie haut et bas par √3 → 1/√3 = √3/(√3×√3) = √3/3

3. Écriture scientifique (application commerciale)

Définition

L'écriture scientifique d'un nombre est de la forme a × 10ⁿ avec 1 ≤ a < 10 et n ∈ ℤ. Elle est très utile en gestion commerciale pour manipuler de grands chiffres d'affaires ou de très petites proportions.

Exemples résolus

3 450 000 = 3,45 × 10⁶

0,000072 = 7,2 × 10⁻⁵

Un chiffre d'affaires de 3,2 × 10⁶ FCFA réalisé par 250 (= 2,5 × 10²) points de vente identiques représente un total de 3,2×2,5 × 10⁶⁺² = 8 × 10⁸ = 800 000 000 FCFA.

🧠 À retenir absolument

aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ ; aᵐ / aⁿ = aᵐ⁻ⁿ ; (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ
a⁻ⁿ = 1/aⁿ et a⁰ = 1 (pour a ≠ 0)
√(a×b) = √a × √b ; pour simplifier, extraire le plus grand carré parfait
Rationaliser un dénominateur : multiplier haut et bas par la racine (ou par le conjugué)
Écriture scientifique : a × 10ⁿ avec 1 ≤ a < 10

Calculs sur les puissances

● Facile

Calculer et donner le résultat sous forme d'une seule puissance ou d'un nombre simplifié :

2³ × 2⁻¹
(3⁻¹)²
5⁰ × 5³
10⁻² × 10⁵

✅ Correction

2³ × 2⁻¹ = 2³⁻¹ = 2² = 4
(3⁻¹)² = 3⁻² = 1/9
5⁰ × 5³ = 1 × 125 = 125
10⁻² × 10⁵ = 10³ = 1000

Simplifier des radicaux

● Facile

Écrire sous la forme a√b avec b le plus petit possible :

√45
√72
√98
√200

✅ Correction

√45 = √(9×5) = 3√5
√72 = √(36×2) = 6√2
√98 = √(49×2) = 7√2
√200 = √(100×2) = 10√2

Réduire des expressions

● Moyen

Réduire chaque expression :

A = 3√2 + 5√8 − √18
B = 2√3 × √12
C = √75 / √3

✅ Correction

√8 = 2√2 et √18 = 3√2, donc A = 3√2 + 5×2√2 − 3√2 = 3√2 + 10√2 − 3√2 = 10√2
√12 = 2√3, donc B = 2√3 × 2√3 = 4 × (√3)² = 4 × 3 = 12
C = √(75/3) = √25 = 5

Application commerciale : notation scientifique

● Moyen

Une entreprise réalise un chiffre d'affaires de 3 200 000 FCFA en 2025. Il existe 250 entreprises comparables dans la même filière.

Écrire 3 200 000 et 250 en écriture scientifique.
En supposant que chaque entreprise réalise le même chiffre d'affaires, calculer le chiffre d'affaires total du secteur en écriture scientifique, puis en écriture décimale usuelle.

✅ Correction

3 200 000 = 3,2 × 10⁶ ; 250 = 2,5 × 10²
Total = (3,2 × 10⁶) × (2,5 × 10²) = (3,2 × 2,5) × 10⁶⁺² = 8 × 10⁸ = 800 000 000 FCFA

Rationalisation et identités

● Difficile

Rationaliser le dénominateur de A = 1/(√5 − √3).
Calculer B = (√7 + √2)(√7 − √2).
Démontrer que (√3 + 1)² = 4 + 2√3.

✅ Correction

On multiplie haut et bas par le conjugué (√5 + √3) : $A = (\sqrt5+\sqrt3) / [(\sqrt5-\sqrt3)(\sqrt5+\sqrt3)] = (\sqrt5+\sqrt3) / (5-3) = (\sqrt5+\sqrt3)/2$
B est de la forme (x−y)(x+y) = x²−y² avec x=√7, y=√2 : B = 7 − 2 = 5
(√3+1)² = (√3)² + 2×√3×1 + 1² = 3 + 2√3 + 1 = 4 + 2√3 (identité remarquable (a+b)²=a²+2ab+b² vérifiée)

QCM — Auto-évaluation

10 questions · Une seule bonne réponse · Correction immédiate

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0/10Répondues

Question 1 / 10

2³ × 2⁵ est égal à :

Question 2 / 10

(3²)³ est égal à :

Question 3 / 10

5⁻² est égal à :

Question 4 / 10

√72 simplifié s'écrit :

Question 5 / 10

√20 + √45 est égal à :

Question 6 / 10

(√7)² est égal à :

Question 7 / 10

La forme rationalisée de 1/√2 est :

Question 8 / 10

L'écriture scientifique de 52 000 est :

Question 9 / 10

10⁻³ × 10⁵ est égal à :

Question 10 / 10

√8 × √2 est égal à :