Objectif Général 3 — Fonctions et dénombrement. Suites arithmétiques et géométriques, terme général, somme des premiers termes.
Une suite (uₙ) est arithmétique s'il existe un nombre r (appelé raison) tel que, pour tout n, uₙ₊₁ = uₙ + r. Terme général : uₙ = u₀ + n × r.
La somme des n+1 premiers termes (de u₀ à uₙ) est S = (n+1) × (u₀ + uₙ) / 2 (« nombre de termes × (premier terme + dernier terme) / 2 »).
u₀ = 7, r = 4 : u₁ = 11, u₂ = 15, u₃ = 19, u₁₀ = 7 + 10×4 = 47.
Une usine produit 200 unités le 1er mois (u₀ = 200) et augmente sa production de 50 unités chaque mois (r = 50) : la production au 12e mois est u₁₁ = 200 + 11×50 = 750 unités ; la production totale sur les 12 premiers mois est S = 12×(u₀+u₁₁)/2 = 12×(200+750)/2 = 12×475 = 5700 unités.
Une suite (uₙ) est géométrique s'il existe un nombre q ≠ 0 (appelé raison) tel que, pour tout n, uₙ₊₁ = uₙ × q. Terme général : uₙ = u₀ × qⁿ.
S = u₀ × (qⁿ⁺¹ − 1) / (q − 1)
u₀ = 3, q = 2 : u₁ = 6, u₂ = 12, u₃ = 24, u₅ = 3×2⁵ = 3×32 = 96.
Un capital de 500000 FCFA placé à un taux d'intérêt composé annuel de 5 % (u₀ = 500000, q = 1,05) : le capital après 3 ans est u₃ = 500000×1,05³ = 500000×1,157625 ≈ 578813 FCFA (arrondi au FCFA).
Une évolution successive au même taux constant (intérêts composés, croissance régulière de production, etc.) se modélise par une suite géométrique de raison q = 1 + t, où t est le taux (positif pour une hausse, négatif pour une baisse).
Avec u₀ = 500000 et q = 1,05 (capital placé à 5 %), la somme des capitaux disponibles à la fin de chacune des 4 premières années (u₀ à u₃) vaut S = u₀×(q⁴−1)/(q−1) = 500000×(1,05⁴−1)/0,05. Comme 1,05⁴ = 1,21550625, S = 500000×0,21550625/0,05 = 500000×4,310125 = 2 155 062,5 FCFA.
Vérification par somme directe : u₀ = 500000, u₁ = 525000, u₂ = 551250, u₃ = 578812,5 ; somme = 500000+525000+551250+578812,5 = 2 155 062,5 FCFA ✓ (il s'agit d'un calcul sur les termes de la suite, à ne pas confondre avec un montant réellement disponible en une seule fois).
Soit la suite arithmétique de premier terme u₀ = 7 et de raison r = 4. Calculer u₁, u₂, u₃, u₁₀. Donner l'expression de uₙ.
u₁ = 11, u₂ = 15, u₃ = 19.
uₙ = 7 + 4n.
u₁₀ = 7 + 4×10 = 47.
Soit la suite géométrique de premier terme u₀ = 3 et de raison q = 2. Calculer u₁, u₂, u₃, u₅. Donner l'expression de uₙ.
u₁ = 6, u₂ = 12, u₃ = 24.
uₙ = 3×2ⁿ.
u₅ = 3×2⁵ = 3×32 = 96.
Une suite arithmétique a pour premier terme u₀ = 12 et pour raison r = −3.
Une usine produit 200 unités le premier mois et augmente sa production de 50 unités chaque mois supplémentaire (suite arithmétique, u₀ = 200 correspondant au mois 1, raison r = 50).
Un commerçant place un capital de 500000 FCFA à un taux d'intérêt composé annuel de 5 %.
10 questions · Une seule bonne réponse · Correction immédiate
Pour une suite arithmétique de premier terme u₀ et de raison r, uₙ est égal à :
Pour une suite géométrique de premier terme u₀ et de raison q, uₙ est égal à :
Suite arithmétique u₀ = 7, r = 4. u₁₀ vaut :
Suite géométrique u₀ = 3, q = 2. u₅ vaut :
Suite arithmétique u₀ = 12, r = −3. u₁₅ vaut :
La somme des n+1 premiers termes d'une suite arithmétique (u₀ à uₙ) est :
Une usine produit 200 unités le 1er mois puis augmente de 50 unités chaque mois. La production totale sur 12 mois est :
Une suite est géométrique lorsque :
Un capital de 500000 FCFA placé à 5 % d'intérêt composé annuel devient après 3 ans (arrondi au FCFA) :
La raison q de la suite géométrique u₀ = 3, u₁ = 6, u₂ = 12 est :
