Objectif Général 3 — Fonctions et dénombrement. Coefficient directeur, équation réduite, équation cartésienne, droites parallèles et perpendiculaires.
Soit (d) une droite non parallèle à l'axe des ordonnées, passant par deux points distincts A(x_A;y_A) et B(x_B;y_B) avec x_A≠x_B. Le coefficient directeur (ou pente) de (d) est le nombre réel m = (y_B−y_A)/(x_B−x_A).
Le coefficient directeur ne dépend pas des deux points choisis sur la droite : il est le même quels que soient les deux points distincts pris sur (d).
Si m>0, la droite « monte » de gauche à droite (fonction croissante). Si m<0, elle « descend » (fonction décroissante). Si m=0, la droite est horizontale.
Soit A(1;2) et B(4;8). m = (8−2)/(4−1) = 6/3 = 2.
Application commerciale : le coût total de fabrication de x objets est une fonction affine C(x)=mx+p. Le coefficient directeur m représente alors le coût variable par unité produite, et p le coût fixe.
Toute droite non verticale (non parallèle à l'axe des ordonnées) admet une équation réduite de la forme y = mx + p, où m est le coefficient directeur et p l'ordonnée à l'origine (valeur de y obtenue en posant x=0, c'est-à-dire l'ordonnée du point d'intersection de (d) avec l'axe des ordonnées).
Une droite verticale (parallèle à l'axe des ordonnées) a pour équation x = k ; elle n'a pas de coefficient directeur.
Deux droites non verticales de coefficients directeurs m₁ et m₂ sont parallèles si et seulement si m₁ = m₂.
Deux droites de coefficients directeurs m₁ et m₂ sont perpendiculaires si et seulement si m₁ × m₂ = −1.
Trouver p : droite passant par A(1;2) avec m=2. On pose y=2x+p, puis on remplace par les coordonnées de A : 2=2×1+p, donc p=0. Équation réduite : y=2x.
Parallélisme : (d₁): y=2x+3 et (d₂): y=2x−5 ont le même coefficient directeur (m=2) : elles sont parallèles.
Perpendicularité : soit (d₁): y=2x+1 (m₁=2). Une droite perpendiculaire à (d₁) a pour coefficient directeur m₂=−1/m₁=−1/2 (car m₁×m₂=2×(−1/2)=−1). Par exemple (d₂): y=−0,5x+4 est perpendiculaire à (d₁).
Une équation cartésienne d'une droite est une équation de la forme ax + by + c = 0, où a, b, c sont des réels avec (a;b)≠(0;0). Cette forme permet aussi de représenter les droites verticales (cas b=0).
Une droite d'équation réduite y=mx+p a pour équation cartésienne mx − y + p = 0 (avec a=m, b=−1, c=p).
1. Calculer le coefficient directeur : m = (y_B−y_A)/(x_B−x_A) (si x_A≠x_B).
2. Poser y = mx + p et remplacer x et y par les coordonnées d'un des deux points (A ou B) pour trouver p.
3. Écrire l'équation réduite y=mx+p, puis, si besoin, la forme cartésienne mx−y+p=0.
Déterminer l'équation de la droite passant par A(2;−1) et B(5;5).
Étape 1 : m = (5−(−1))/(5−2) = 6/3 = 2.
Étape 2 : y=2x+p ; en remplaçant par A(2;−1) : −1=2×2+p, soit −1=4+p, donc p=−5.
Étape 3 : équation réduite y=2x−5 ; équation cartésienne 2x−y−5=0. Vérification avec B(5;5) : 2×5−5−5=0 ✓.
Calculer le coefficient directeur de la droite passant par A(0;1) et B(3;7).
m = (y_B−y_A)/(x_B−x_A) = (7−1)/(3−0) = 6/3 = 2.
Une droite a pour équation réduite y=3x−4. Donner son coefficient directeur et son ordonnée à l'origine. Est-elle parallèle à la droite d'équation y=3x+2 ?
Coefficient directeur : m=3. Ordonnée à l'origine : p=−4. Les deux droites ont le même coefficient directeur (3=3), donc elles sont parallèles.
Déterminer l'équation réduite de la droite (d) passant par A(1;3) et de coefficient directeur m=−2. Donner ensuite son équation cartésienne.
On pose y=−2x+p. En remplaçant par les coordonnées de A(1;3) : 3=−2×1+p, soit 3=−2+p, donc p=5.
Équation réduite : y=−2x+5. Équation cartésienne : 2x+y−5=0.
Les droites (d₁): y=½x+3 et (d₂): y=−2x+1 sont-elles perpendiculaires ? Justifier.
m₁=½ et m₂=−2. On calcule m₁×m₂ = ½×(−2) = −1. Le critère de perpendicularité est vérifié, donc les droites (d₁) et (d₂) sont perpendiculaires.
Une entreprise modélise le coût total de production de x unités par une fonction affine C(x)=mx+p. On sait que pour 10 unités, le coût total est 800 (en unités monétaires), et que pour 25 unités, le coût total est 1400.
10 questions · Une seule bonne réponse · Correction immédiate
Quel est le coefficient directeur de la droite passant par A(0;1) et B(2;5) ?
Dans l'équation réduite y=mx+p, le nombre p représente :
Deux droites sont parallèles si et seulement si :
Deux droites de coefficients directeurs m₁ et m₂ sont perpendiculaires si et seulement si :
La droite (d₁): y=2x+1 est perpendiculaire à une droite de coefficient directeur :
L'équation cartésienne générale d'une droite est de la forme :
La droite passant par A(1;3) avec un coefficient directeur m=−2 a pour équation réduite :
Une droite passe par A(2;−1) et B(5;5). Son coefficient directeur est :
Les droites (d₁): y=½x+3 et (d₂): y=−2x+1 sont :
Une entreprise a un coût total C(x)=40x+400 pour x unités produites. Le coût total pour 40 unités est :
