Objectif Général 1 — Nombres réels et calculs. Ensembles N, Z, D, Q, R et leurs propriétés, inclusions et opérations.
• ℕ (entiers naturels) : ℕ = {0, 1, 2, 3, 4, …}
• ℤ (entiers relatifs) : ℤ = {…, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …}
• 𝔻 (décimaux) : nombres qui s'écrivent a / 10ⁿ avec a ∈ ℤ et n ∈ ℕ, c'est-à-dire les nombres à écriture décimale finie.
• ℚ (rationnels) : nombres qui s'écrivent p / q avec p ∈ ℤ et q ∈ ℤ* (q ≠ 0).
• ℝ (réels) : tous les nombres utilisés en pratique — rationnels et irrationnels (comme √2, π).
ℕ ⊂ ℤ ⊂ 𝔻 ⊂ ℚ ⊂ ℝ
Chaque inclusion est stricte : on peut trouver un élément de l'ensemble « plus grand » qui n'appartient pas à l'ensemble « plus petit ».
−3 ∈ ℤ mais −3 ∉ ℕ (pas un entier naturel).
0,75 ∈ 𝔻 mais 0,75 ∉ ℤ (n'est pas entier). Or 0,75 = 3/4, donc 0,75 ∈ ℚ aussi.
1/3 = 0,333… ∈ ℚ mais 1/3 ∉ 𝔻 (écriture décimale infinie, non finie).
√2 = 1,41421356… ∈ ℝ mais √2 ∉ ℚ (nombre irrationnel).
Pour trouver le plus petit ensemble usuel contenant un nombre donné, on examine son écriture décimale :
√9 = 3 → 3 est un entier naturel : plus petit ensemble = ℕ.
−12 / 4 = −3 → entier négatif : plus petit ensemble = ℤ.
5 / 2 = 2,5 → décimal fini : plus petit ensemble = 𝔻.
2 / 3 = 0,666… → périodique, non finie : plus petit ensemble = ℚ.
π = 3,14159265… → non périodique : n'appartient pas à ℚ, seulement à ℝ.
Un ensemble E est stable pour une opération si le résultat de cette opération, appliquée à deux éléments quelconques de E, reste toujours dans E.
| Ensemble | Addition | Soustraction | Multiplication | Division (par ≠0) |
|---|---|---|---|---|
| ℕ | stable | non stable | stable | non stable |
| ℤ | stable | stable | stable | non stable |
| 𝔻 | stable | stable | stable | non stable |
| ℚ | stable | stable | stable | stable |
| ℝ | stable | stable | stable | stable |
ℕ non stable pour − : 2 − 5 = −3 ∉ ℕ.
ℤ non stable pour ÷ : 1 ÷ 2 = 0,5 ∉ ℤ.
𝔻 non stable pour ÷ : 1 ÷ 3 = 0,333… ∉ 𝔻 (écriture infinie).
ℚ est stable pour les quatre opérations (division par un rationnel non nul) : c'est ce qui en fait un « corps ».
Pour chacun des nombres suivants, donner le plus petit ensemble parmi ℕ, ℤ, 𝔻, ℚ, ℝ qui le contient :
Dire si chaque affirmation est vraie ou fausse. Si elle est fausse, donner un contre-exemple.
Calculer chaque expression puis donner le plus petit ensemble contenant le résultat :
Soient deux rationnels quelconques p/q et r/s (avec p, r ∈ ℤ et q, s ∈ ℤ*). Montrer que leur somme est encore un nombre rationnel.
On met au même dénominateur :
Or p, s, r, q sont des entiers relatifs, donc ps + rq ∈ ℤ (produit et somme d'entiers) et qs ∈ ℤ* (produit de deux entiers non nuls est non nul).
La somme s'écrit donc bien sous la forme d'un entier divisé par un entier non nul : c'est un rationnel. Ceci prouve que ℚ est stable pour l'addition.
On considère le nombre x = 0,454545… (le motif « 45 » se répète indéfiniment).
10 questions · Une seule bonne réponse · Correction immédiate
Le plus petit ensemble usuel contenant −5 est :
Le plus petit ensemble usuel contenant 3/4 est :
Le plus petit ensemble usuel contenant 1/3 est :
Quelle inclusion est correcte ?
ℕ est-il stable pour la soustraction ?
ℤ est-il stable pour la division ?
La somme de deux nombres décimaux est toujours :
L'ensemble ℝ est égal à :
Lequel de ces nombres est irrationnel ?
Combien d'entiers relatifs y a-t-il entre −3 et 2 (bornes incluses) ?
