Ch. 02 Mathématiques · 2nde Industrielle (STI)

Éléments particuliers d'un sous-ensemble de R

Objectif Général 1 — Nombres réels et calculs. Majorant, minorant, borne supérieure, borne inférieure, maximum, minimum d'une partie de ℝ.

1. Majorant et minorant

Définition

Soit A une partie non vide de ℝ.

• Un réel M est un majorant de A si ∀x ∈ A, x ≤ M.

• Un réel m est un minorant de A si ∀x ∈ A, x ≥ m.

Si A possède au moins un majorant, A est dite majorée. Si A possède au moins un minorant, A est dite minorée. Si A est à la fois majorée et minorée, A est dite bornée.

Remarque importante

Un majorant (ou un minorant) n'est pas unique : si M majore A, alors tout réel M' ≥ M majore aussi A. Il existe donc une infinité de majorants dès qu'il en existe un.

Exemple

Pour A = [−3 ; 6[ : 6, 7, 100 sont des majorants de A ; −3, −4, −10 sont des minorants de A. A est bornée.

Pour A = ℕ : 0, −1, −5 sont des minorants, mais A n'est pas majorée (aucun réel ne peut majorer tous les entiers naturels).

2. Borne supérieure et borne inférieure

Définition

Si A est une partie non vide et majorée de ℝ, l'ensemble de ses majorants admet un plus petit élément, appelé borne supérieure de A, noté sup(A).

De même, si A est non vide et minorée, l'ensemble de ses minorants admet un plus grand élément, appelé borne inférieure de A, noté inf(A).

Cette existence est une propriété fondamentale de ℝ (propriété de la borne supérieure, admise en Terminale) : elle n'est pas vraie dans ℚ.

Caractérisation pratique

Pour montrer que M = sup(A), il suffit de vérifier :

1) M est un majorant de A : ∀x∈A, x ≤ M ;

2) aucun réel strictement inférieur à M n'est majorant de A, c'est-à-dire : pour tout m < M, il existe x ∈ A tel que x > m.

Exemple

Pour A = ]1 ; 5[ : sup(A) = 5 (5 majore A, et tout réel < 5 est dépassé par un élément de A situé entre lui et 5). De même inf(A) = 1.

Remarquons que 5 ∉ A et 1 ∉ A : la borne supérieure/inférieure n'a pas besoin d'appartenir à A.

3. Maximum, minimum, et lien avec les bornes

Définition

• Le maximum de A, noté max(A), est un majorant de A qui appartient à A.

• Le minimum de A, noté min(A), est un minorant de A qui appartient à A.

Propriété

Si A admet un maximum, alors max(A) = sup(A). Autrement dit, le maximum, quand il existe, est exactement la borne supérieure — c'est le cas où cette borne appartient à A.

De même, si A admet un minimum, min(A) = inf(A).

Un ensemble borné n'a donc pas toujours de maximum ni de minimum : la borne existe toujours (si A est majorée/minorée), mais elle n'est pas toujours atteinte.

Ensemble	sup	inf	max	min
[2 ; 7]	7	2	7	2
[2 ; 7[	7	2	n'existe pas	2
]2 ; 7]	7	2	7	n'existe pas
]2 ; 7[	7	2	n'existe pas	n'existe pas
ℕ	n'existe pas	0	n'existe pas	0

🧠 À retenir absolument

Majorant M : ∀x∈A, x≤M — Minorant m : ∀x∈A, x≥m (jamais uniques)
sup(A) = le plus petit des majorants ; inf(A) = le plus grand des minorants
Bornée = majorée ET minorée ; dans ce cas sup(A) et inf(A) existent toujours
max(A) et min(A) exigent d'appartenir à A ; s'ils existent, max(A)=sup(A) et min(A)=inf(A)
Une borne (sup ou inf) peut ne pas appartenir à A : dans ce cas, pas de max/min

Un intervalle fermé

● Facile

Pour A = [−4 ; 9], donner sup(A), inf(A), max(A) et min(A).

✅ Correction

A est un intervalle fermé : ses deux bornes appartiennent à A.

sup(A) = 9, inf(A) = −4. Comme 9 ∈ A et −4 ∈ A, ces bornes sont atteintes : max(A) = 9, min(A) = −4.

Un intervalle ouvert

● Facile

Pour B = ]−4 ; 9[ :

Donner deux majorants et deux minorants de B.
Donner sup(B) et inf(B).
B admet-elle un maximum ? Un minimum ? Justifier.

✅ Correction

Majorants : 9 et 20 (tout réel ≥ 9). Minorants : −4 et −10 (tout réel ≤ −4).
sup(B) = 9 et inf(B) = −4 (les mêmes bornes que l'intervalle, même si elles ne sont pas atteintes).
B n'a ni maximum ni minimum : 9 ∉ B et −4 ∉ B (intervalle ouvert), donc aucune de ces bornes n'appartient à B.

Un ensemble défini par une suite

● Moyen

Soit C = { 1 − 1/n , n ∈ ℕ* } = {0 ; 1/2 ; 2/3 ; 3/4 ; …}.

Calculer les trois premiers termes (n=1, 2, 3).
Montrer que C est minorée par 0. 0 est-il le minimum de C ?
Montrer que C est majorée par 1. 1 est-il le maximum de C ?

✅ Correction

n=1 : 1−1 = 0. n=2 : 1−1/2 = 1/2. n=3 : 1−1/3 = 2/3.
Pour tout n ∈ ℕ*, 1/n > 0 donc 1 − 1/n < 1, mais surtout 1 − 1/n ≥ 0 (car 1/n ≤ 1). Donc C est minorée par 0. Comme n=1 donne exactement 0, 0 ∈ C : min(C) = 0.
Pour tout n, 1/n > 0 donc 1 − 1/n < 1 : 1 majore C. Mais aucun terme 1 − 1/n n'est jamais égal à 1 (1/n ne s'annule jamais), donc 1 ∉ C : 1 n'est pas le maximum. On a sup(C) = 1 mais C n'a pas de maximum.

Démontrer une borne supérieure

● Moyen

Soit A = { x ∈ ℝ , x² < 4 } (c'est l'intervalle ]−2 ; 2[). On veut prouver directement, à l'aide de la définition, que sup(A) = 2.

Vérifier que 2 est un majorant de A.
Soit m un réel tel que m < 2. Montrer qu'il existe un élément de A strictement supérieur à m (on distinguera le cas m < −2 et le cas −2 ≤ m < 2, et on pourra utiliser un réel du type (m+2)/2 dans le second cas).
Conclure.

✅ Correction

Si x ∈ A alors x² < 4 donc −2 < x < 2, en particulier x ≤ 2 : 2 est un majorant de A.
• Si m < −2, alors 0 ∈ A (car 0² = 0 < 4) et 0 > m : on a trouvé un élément de A supérieur à m.
• Si −2 ≤ m < 2, posons y = (m+2)/2, la moyenne de m et 2. On a m < y < 2 (car m<2), donc y ∈ ]−2;2[ = A, et y > m : on a bien trouvé un élément de A strictement supérieur à m.
2 est un majorant de A, et aucun réel m < 2 n'est majorant de A (on trouve toujours un élément de A plus grand que m). Donc 2 est bien le plus petit des majorants : sup(A) = 2.

Problème de synthèse

● Difficile

Soit D = { 2 − 1/n , n ∈ ℕ* } = {1 ; 1,5 ; 5/3 ; 7/4 ; …}.

Montrer que D est minorée par 1, et que 1 ∈ D. Que peut-on en conclure ?
Montrer que D est majorée par 2.
Montrer qu'aucun terme de D n'est égal à 2, puis, en s'inspirant de l'exercice 4, admettre que sup(D) = 2. D possède-t-elle un maximum ?
D est-elle bornée ?

✅ Correction

Pour tout n ≥ 1, 1/n ≤ 1 donc 2 − 1/n ≥ 1 : D est minorée par 1. Pour n=1, le terme vaut exactement 2−1 = 1, donc 1 ∈ D : min(D) = inf(D) = 1.
Pour tout n ∈ ℕ*, 1/n > 0 donc 2 − 1/n < 2 : 2 est un majorant de D.
2 − 1/n = 2 impliquerait 1/n = 0, ce qui est impossible : 2 ∉ D. Comme dans l'exercice 4, tout réel m < 2 est dépassé par un terme de D (il suffit de prendre n assez grand pour que 1/n soit inférieur à 2−m). Donc sup(D) = 2, mais comme 2 ∉ D, D n'a pas de maximum.
D est majorée (par 2) et minorée (par 1, atteint), donc D est bornée.

QCM — Auto-évaluation

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Question 1 / 10

Pour A = [2 ; 9], quelle est la borne supérieure de A ?

Question 2 / 10

Un réel M est un majorant de A si :

Question 3 / 10

Pour B = ]1 ; 5], quel est le maximum de B ?

Question 4 / 10

Pour B = ]1 ; 5], B admet-elle un minimum ?

Question 5 / 10

La borne supérieure d'un ensemble est :

Question 6 / 10

ℕ admet-il une borne supérieure ?

Question 7 / 10

Si M = sup(A) et M ∈ A, alors on peut affirmer que :

Question 8 / 10

Pour C = { 1 − 1/n , n ∈ ℕ* }, que vaut sup(C) ?

Question 9 / 10

Un ensemble A est dit « borné » lorsque :

Question 10 / 10

Un minorant m d'un ensemble A vérifie toujours :